대칭 중선

기하학에서 대칭 중선(對稱中線, 영어: symmedian 시미디언^[*])은 주어진 삼각형의 각 꼭짓점을 지나는 중선을 같은 꼭짓점에서의 내각 이등분선에 대하여 반사시켜 얻는 직선이다. 즉, 대칭 중선은 중선의 등각 켤레선이다. 대칭 중점(對稱中點, 영어: symmedian point) 또는 르무안 점(영어: Lemoine point) 또는 그레베 점(영어: Grebe point)은 주어진 삼각형의 세 대칭 중선이 공통으로 지나는 점이다. 즉, 대칭 중점은 무게 중심의 등각 켤레점이다.

대칭 중선과 대칭 중점

정의

삼각형 $ABC$의 대칭 중선은 중선의 등각 켤레선이다. 즉, 각 꼭짓점 $A$, $B$, $C$을 지나는 중선의, 내각 $\angle A$, $\angle B$, $\angle C$의 이등분선에 대한 반사상이다. 삼각형 $ABC$의 대칭 중점 $K$은 무게 중심의 등각 켤레점이다. 즉, 세 대칭 중선의 교점이다.

성질

직각 삼각형의 대칭 중점은 직각 꼭짓점을 지나는 빗변의 수선의 중점이다.^{:59, §7.4, (i)}

대칭 중점은 삼각형의 세 변과의 거리의 제곱의 합이 가장 작은 점이다.^{:75, Exercise 7.3} 삼각형 $ABC$의 세 변의 길이를 $a=BC$, $b=AC$, $c=AB$라고 하고, 넓이를 $S$라고 하고, 브로카르 각을 $\omega$라고 하자. 그렇다면 대칭 중점 $K$와 세 변 $BC$, $AC$, $AB$ 사이의 거리는 다음과 같다.^{:268, §[XVI.]438}

$d(K,BC)={\frac {1}{2}}a\tan \omega ={\frac {2aS}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}$

$d(K,AC)={\frac {1}{2}}b\tan \omega ={\frac {2bS}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}$

$d(K,AB)={\frac {1}{2}}c\tan \omega ={\frac {2cS}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}$

삼각형 $ABC$의 대칭 중선 $AK_{A}$, $BK_{B}$, $CK_{C}$의 발을 $K_{A}$, $K_{B}$, $K_{C}$라고 하고, 대칭 중점을 $K$라고 하자. 그렇다면 다음이 성립한다.^{:76, Exercise 7.4}

${\frac {AK}{KK_{A}}}={\frac {b^{2}+c^{2}}{a^{2}}}$

${\frac {BK}{KK_{B}}}={\frac {a^{2}+c^{2}}{b^{2}}}$

${\frac {CK}{KK_{C}}}={\frac {a^{2}+b^{2}}{c^{2}}}$

삼각형 $ABC$의 각 꼭짓점 $A$, $B$, $C$을 지나는 대변의 수선의 발을 $H_{A}$, $H_{B}$, $H_{C}$라고 하자. 그렇다면 $A$, $B$, $C$을 지나는 대칭 중선은 각각 수심 삼각형의 변 $H_{B}H_{C}$, $H_{A}H_{C}$, $H_{A}H_{B}$를 이등분한다.^{:60, §7.4, (ii)}

삼각형 $ABC$의 한 꼭짓점 $A$를 지나는 대칭 중선은 남은 두 꼭짓점 $B$, $C$에서의 외접원의 접선의 교점을 지난다.^{:60, §7.4, (iii)} 제르곤 삼각형의 대칭 중점은 제르곤 점이다. 이는 위 명제의 따름정리이다.

증명:

외접원의 $B$, $C$에서의 접선의 교점을 $D$라고 하자. $D$를 중심으로 하고 $DB$를 반지름으로 하는 원이 $AB$, $AC$의 연장선과 각각 $E$, $F$에서 만난다고 하자. 접현각의 크기는 원주각과 같으므로

$\angle E=\angle DBE=\angle ACB$

$\angle F=\angle DCF=\angle ABC$

이다. 또한 사각형 $AEDF$에서

$\angle EDF=360^{\circ }-\angle A-\angle E-\angle F=180^{\circ }$

이므로 $E$, $D$, $F$는 공선점이다. 따라서 삼각형 $AEF$는 삼각형 $ACB$와 닮음이다. 구체적으로, 삼각형 $AEF$를 $\angle A$의 이등분선에 대하여 반사시킨 뒤 다시 $A$를 중심으로 적절한 중심 닮음 변환을 가하면 삼각형 $ACB$를 얻는다. 이러한 변환은 닮음 변환이며, 특히 아핀 변환이므로 중점을 보존한다. $A$를 지나는 직선은 $A$를 중심으로 하는 중심 닮음 변환에 대하여 불변이므로 $AD$의 상은 자신의 등각 켤레선이다. $AD$는 삼각형 $AEF$의 중선이므로 $AD$의 등각 켤레선은 삼각형 $ACB$의 중선이다. 즉, $AD$는 삼각형 $ACB$의 대칭 중선이다.

삼각형 $ABC$의 내접원과 꼭짓점 $A$, $B$, $C$의 대변의 접점을 각각 $T_{A}$, $T_{B}$, $T_{C}$라고 하자. 그렇다면 삼각형 $ABC$의 내접원은 제르곤 삼각형 $T_{A}T_{B}T_{C}$의 외접원이다. 삼각형 $ABC$의 각 변은 삼각형 $T_{A}T_{B}T_{C}$의 외접원의 각 꼭짓점 $T_{A}$, $T_{B}$, $T_{C}$에서의 접선이며, 점 $A$, $B$, $C$는 접선들의 교점이다. 따라서 직선 $T_{A}A$, $T_{B}B$, $T_{C}C$는 삼각형 $T_{A}T_{B}T_{C}$의 대칭 중선이며, 그 교점인 제르곤 점은 대칭 중점이다.

삼각형 $ABC$의 한 꼭짓점 $A$를 지나는 대변의 수선의 중점 $M$과 대변의 중점 $M_{A}$를 잇는 직선은 대칭 중점 $K$를 지난다.^{:65, §7.4, (vii)}

증명:

대칭 중점 $K$를 지나는 외접원의 꼭짓점 $B$에서의 접선의 평행선 $PQ$와 변 $AB$, $BC$의 교점을 각각 $P$, $Q$라고 하자. 대칭 중점 $K$를 지나는 외접원의 꼭짓점 $C$에서의 접선의 평행선 $RS$와 변 $AC$, $BC$의 교점을 각각 $R$, $S$라고 하자. 그렇다면 선분 $PQ$, $RS$는 제2 르무안 원의 두 지름이므로 사각형 $PRQS$는 직사각형이다. 직사각형의 변 $PS$, $QR$의 중점을 각각 $D$, $E$라고 하자. 그렇다면 $M$이 꼭짓점 $A$에서 내린 대변의 수선 $AH_{A}$의 중점이므로 $B$, $D$, $M$은 한 직선 위의 점이며, $C$, $E$, $M$ 역시 한 직선 위의 점이다. 대칭 중점 $K$는 선분 $DE$의 중점이며 $M_{A}$는 선분 $BC$의 중점이므로 $M$, $K$, $M_{A}$는 한 직선 위의 점이다.

대칭 중점은 자기 자신의 수족 삼각형의 무게 중심이다.^{:72, §7.4, (x)}

르무안 원

삼각형 $ABC$의 대칭 중점 $K$를 지나는 각 변 $BC$, $CA$, $AB$의 평행선 $ST$, $UP$, $QR$와 남은 두 변의 교점을 각각 $S$와 $T$, $U$와 $P$, $Q$와 $R$라고 하자. 그렇다면 6개의 점 $P$, $Q$, $R$, $S$, $T$, $U$는 한 원 위의 점이며, 그 중심은 대칭 중점 $K$와 외심 $O$를 잇는 선분 $KO$의 중점이다. 이 원을 삼각형 $ABC$의 제1 르무안 원(영어: first Lemoine circle)이라고 한다.^{:88, §9.2}

마찬가지로, 삼각형 $ABC$의 대칭 중점 $K$를 지나는 각 변 $BC$, $CA$, $AB$의 평행선 $ST$, $UP$, $QR$와 남은 두 변의 교점을 각각 $S$와 $T$, $U$와 $P$, $Q$와 $R$라고 하자. 그렇다면 6개의 점 $P$, $Q$, $R$, $S$, $T$, $U$는 한 원 위의 점이며, 그 중심은 대칭 중점 $K$이다. 이 원을 삼각형 $ABC$의 제2 르무안 원(영어: second Lemoine circle)이라고 한다.^{:88, §9.2}

증명:

대칭 중선은 반평행선을 이등분하므로

$SK=TK$

$UK=PK$

$QK=RK$

이다. 반평행선의 성질에 따라

$\angle KPS=\angle ACB=\angle KSP$

$\angle KQT=\angle CBA=\angle KTQ$

$\angle KRU=\angle BAC=\angle KUR$

이므로

$PK=SK$

$QK=TK$

$RK=UK$

이다.

제1·제2 르무안 원은 터커 원의 특수한 경우이다.

외부 링크

• Weisstein, Eric Wolfgang. “Symmedian”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Symmedian point”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “First Lemoine circle”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Lemoine hexagon”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Cosine circle”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Cosine hxagon”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.