사영기하학에서, 동차좌표(同次座標, 영어: homogeneous coordinates)는 차원 사영 공간개의 좌표로 나타내는 좌표계다.

정의편집

 차원 사영 공간은 다음과 같이 정의할 수 있다.  실수, 복소수, 또는 사원수의 대수라고 하고,  개의 수의 순서쌍의 집합  에 다음과 같은 동치관계를 주자.

  ( )

그렇다면  차원 사영 공간  몫공간으로 정의할 수 있다.

 

이 경우,   동차좌표라고 한다.

성질편집

동차좌표는 유일하지 않다. 즉,   은 사영 공간에서 같은 점을 나타낸다. 다음과 같이

  ( )

을 정의하여  차원 사영 공간을  개의 좌표로 나타내려 할 수 있지만, 이 경우  인 점들을 나타내지 못한다.

동차좌표는 유일하지 않으므로, 사영 공간 위에  과 같은 곡면을 정의하려면,  는 같은 점을 나타내는 동차좌표들에 대하여 다음을 만족하여야 한다.

  •  이라면, 모든  에 대하여  
  •  이라면, 모든  에 대하여  

만약  다항함수라면,  동차다항식이어야 한다. 즉, 예를 들어

 

는 동차다항식이므로 사영 공간 위에 곡면  을 정의할 수 있지만,

 

는 동차다항식이 아니므로 곡면  을 정의할 수 없다.

역사편집

아우구스트 페르디난트 뫼비우스가 1827년에 도입하였다.[1][2]

참고 문헌편집