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동치관계

(동치류에서 넘어옴)

수학에서, 동치관계(同値關係, 영어: equivalence relation)는 논리적 동치와 비슷한 성질들을 만족시키는 이항관계이다.

정의편집

집합   위의 동치관계  반사관계이자 대칭관계이자 추이관계이항관계이다. 즉, 다음 조건들이 성립하여야 한다.

  • (반사관계) 임의의  에 대하여,  
  • (대칭관계) 임의의  에 대하여, 만약  라면,  
  • (추이관계) 임의의  에 대하여, 만약  이고  라면  

동치류와 몫집합편집

집합   위에 동치관계  이 주어졌을 때, 원소  의, 동치관계  에 대한 동치류(同値類, 영어: equivalence class)  는 그 원소와 동치인 원소들의 집합이다 즉,

 

집합   에 대한 몫집합(-集合, 영어: quotient set)   에 대한 동치류들의 집합이다. 즉,

 

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  • 임의의 집합 위의 등호 관계
  • 도형 집합 위의 닮음 관계
  • 사람들의 집합 위의, 같은 생일을 갖는 관계

반례편집

  • 공집합이 아닌 집합   위의 공관계는 (유일한 유형의) 반사관계가 아닌 대칭관계이자 추이관계이다.
  • 실수 집합 위의 순서 관계  는 대칭관계가 아닌 반사관계이자 추이관계이다.
  • 실수 집합 위의 이항관계  은 추이관계가 아닌 반사관계이자 대칭관계이다.

성질편집

표준 사상편집

집합 위의 동치관계로부터, 표준사상을 구성할 수 있다. 즉, 집합   위의 동치관계  에 대하여, 함수

 
 

표준사상이라고 한다.

반대로, 전사함수  에 대하여, 이항관계

 

는 동치관계이며, 그 몫집합은

 

이다.

집합의 분할편집

집합 위의 동치관계와 그 집합의 분할 사이에는 자연적인 일대일 대응이 존재한다. 즉, 다음과 같다.

집합   위의 동치관계  에 대하여, 그 몫집합   의 분할이다. 즉,

  • 임의의  에 대하여, 만약  이면,  이다.
  • 임의의  에 대하여, 만약  이면,  이다.

반대로, 집합  의 분할  에 대하여, 이항관계

 

는 동치관계이다.

같이 보기편집

외부 링크편집