등각 다양체

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미분기하학에서 등각 다양체(登角多樣體, 영어: conformal manifold)는 리만 계량의 (스칼라 함수의 곱에 대한) 동치류가 갖추어진 매끄러운 다양체이다.

정의 편집

매끄러운 다양체   위의 두 준 리만 계량  ,  에 대하여, 다음과 같은 관계가 존재한다면 서로 동치라고 하자.

 

위와 같은 준 리만 계량의 동치류등각 계량(영어: conformal metric)이라고 하자. 등각 계량을 갖춘 매끄러운 다양체를 등각 다양체라고 한다.

성질 편집

곡률 편집

 차원 준 리만 다양체  리만 곡률

 
 

을 생각하고, 리치 곡률

 

를 정의하자. 그렇다면,

 

에 대하여, 리치 곡률은 다음과 같이 변환한다.

 

즉, 리치 곡률은  일 경우 등각 불변량이 아니며, 등각 다양체에 대하여 정의될 수 없다. (물론  일 경우 모든 곡률은 항상 0이다.)

반면,  일 때, 바일 곡률 텐서

 

를 정의하면, 이는 등각 변환에 대하여 불변임을 보일 수 있다. 즉, (1,3)차 텐서인 바일 곡률은 등각 다양체에 대하여 잘 정의된다.

호지 쌍대 편집

 미분 형식의 경우, 호지 쌍대 사상은 등각 변환  에 대하여 다음과 같이 변환한다.

 

다시 말해, 만약  일 경우에만, 호지 쌍대 사상은 등각 불변이다.

등각 킬링 벡터장 편집

등각 다양체   위의 등각 킬링 벡터장(영어: conformal Killing vector field)은 다음 조건을 만족시키는 벡터장이다.

 

이는 구체적으로 다음과 같다.

 

이는 등각 다양체의 대칭을 나타낸다.

참고 문헌 편집

외부 링크 편집