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리 군론에서, 딸림표현(-表現, 영어: adjoint representation)은 어떤 리 군이 스스로의 리 대수 위에 가지는 표준적인 표현이다.

정의편집

리 군  가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음을 정의할 수 있다.

 
 
 

이제, 그 원점  에서의 을 취하자.

 

이제,  리 대응 아래  에 대응하는 리 대수이며,  리 대수자기 준동형이다. 즉, 이는 사상

 

를 정의한다. 특히, 만약  리 대수 구조를 잊고 단순히 실수 벡터 공간으로 간주한다면, 이는  의 유한 차원 실수 표현을 이룬다. 이를 리 군  딸림표현이라고 한다.

리 대수의 딸림표현편집

임의의 가환환   위의 리 대수  가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 사상

 
 

 의, 스스로 위의 리 대수 미분리 대수로 가는 리 대수 준동형이며, 특히  표현으로 여겨질 수 있다. 이를  딸림표현이라고 한다.

성질편집

리 군  의 (리 대응 아래 대응하는) 리 대수 라고 하자. 그렇다면, 그 리 군 딸림표현

 

의, 원점  에서의 을 취하자.

 

그런데

 
 

이며,

 

임을 보일 수 있다.

편집

리 대응 아래, 아벨 리 군  리 대수는 모든 리 괄호가 0인 벡터 공간이다. 이 경우,  의 딸림표현은 항등 함수로 가는 상수 함수이다.

외부 링크편집