수학 에서 라플라스 연산자 (Laplace演算子, 영어 : Laplace operator ) 또는 라플라시안 (영어 : Laplacian )은 2차 미분 연산자 의 일종으로, 기울기 의 발산 이다.[1] [2] Δ (그리스 대문자 델타) 또는 ∇2 이다.
다음 데이터가 주어졌다고 하자.
준 리만 다양체
(
M
,
g
)
{\displaystyle (M,g)}
M
{\displaystyle M}
매끄러운 벡터 다발
E
{\displaystyle E}
E
{\displaystyle E}
코쥘 접속
∇
{\displaystyle \nabla }
그렇다면,
E
{\displaystyle E}
라플라스 연산자 는 다음과 같이
E
{\displaystyle E}
매끄러운 단면 을 매끄러운 단면 에 대응시키는 2차 미분 연산자 이다.
Δ
:
Γ
∞
(
E
)
→
Γ
∞
(
E
)
{\displaystyle \Delta \colon \Gamma ^{\infty }(E)\to \Gamma ^{\infty }(E)}
이는 국소 좌표계에서 다음과 같다.
Δ
s
c
=
g
i
j
∇
i
∇
j
s
=
g
i
j
(
∂
j
δ
b
c
+
Γ
i
b
c
)
(
δ
a
b
∂
i
s
+
Γ
i
a
b
s
a
)
=
g
i
j
∂
i
∂
j
s
c
+
2
g
i
j
Γ
i
a
c
∂
j
s
a
+
g
i
j
(
∂
i
b
c
Γ
j
a
b
+
Γ
i
b
c
Γ
j
a
b
)
s
a
∀
s
∈
Γ
∞
(
E
)
{\displaystyle \Delta s^{c}=g^{ij}\nabla _{i}\nabla _{j}s=g^{ij}(\partial _{j}\delta _{b}^{c}+\Gamma _{ib}^{c})(\delta _{a}^{b}\partial _{i}s+\Gamma _{ia}^{b}s^{a})=g^{ij}\partial _{i}\partial _{j}s^{c}+2g^{ij}\Gamma _{ia}^{c}\partial _{j}s^{a}+g^{ij}\left(\partial _{ib}^{c}\Gamma _{ja}^{b}+\Gamma _{ib}^{c}\Gamma _{ja}^{b}\right)s^{a}\qquad \forall s\in \Gamma ^{\infty }(E)}
여기서
Γ
i
a
b
{\displaystyle \Gamma _{ia}^{b}}
∇
{\displaystyle \nabla }
크리스토펠 기호 )이다.
i
,
j
,
…
{\displaystyle i,j,\ldots }
접다발 의 첨자이며,
a
,
b
,
…
{\displaystyle a,b,\ldots }
E
{\displaystyle E}
이에 따라, 리만 계량
g
{\displaystyle g}
코쥘 접속
Γ
i
a
b
{\displaystyle \Gamma _{ia}^{b}}
매끄러운 다양체 의 매끄러운 벡터 다발 위에 라플라스 연산자가 주어지면 이로부터 매끄러운 다양체 위의 리만 계량 과 매끄러운 벡터 다발 위의 코쥘 접속 을 읽어낼 수 있다.
위 정의는 대신 기울기
∇
:
Γ
∞
(
E
)
→
Γ
∞
(
E
⊗
T
∗
M
)
{\displaystyle \nabla \colon \Gamma ^{\infty }(E)\to \Gamma ^{\infty }(E\otimes \mathrm {T} ^{*}M)}
와 음악 동형
(
−
)
#
:
Γ
∞
(
E
⊗
T
∗
M
)
→
Γ
∞
(
E
⊗
T
M
)
{\displaystyle (-)^{\#}\colon \Gamma ^{\infty }(E\otimes \mathrm {T} ^{*}M)\to \Gamma ^{\infty }(E\otimes \mathrm {T} M)}
과 발산
div
:
Γ
∞
(
E
⊗
T
M
)
→
Γ
∞
(
E
)
{\displaystyle \operatorname {div} \colon \Gamma ^{\infty }(E\otimes \mathrm {T} M)\to \Gamma ^{\infty }(E)}
의 합성 으로 여길 수 있다.
Δ
=
div
∘
(
−
)
#
∘
∇
{\displaystyle \Delta =\operatorname {div} \circ (-)^{\#}\circ \nabla }
라플라스형 연산자 편집 보다 일반적으로, 위와 같은 형태의 2차 미분 연산자 에 임의의 0차 항을 추가하여 라플라스형 연산자 (Laplace形演算子, 영어 : Laplace-type operator ) 또는 일반화 라플라스 연산자 (一般化Laplace演算子, 영어 : generalized Laplace operator )의 개념을 정의할 수 있다.[3] :65–67, §2.1 [4] :§2.1 [5] :290, §2 라플라스형 연산자
H
{\displaystyle H}
미분 연산자 이다.
H
=
Δ
+
T
(
T
∈
Γ
∞
(
E
⊗
E
∗
)
)
{\displaystyle H=\Delta +T\qquad (T\in \Gamma ^{\infty }(E\otimes E^{*}))}
여기서
Δ
{\displaystyle \Delta }
Γ
∞
(
E
⊗
E
∗
)
{\displaystyle \Gamma ^{\infty }(E\otimes E^{*})}
E
⊗
E
∗
=
End
(
E
)
{\displaystyle E\otimes E^{*}=\operatorname {End} (E)}
매끄러운 단면 들의 공간이다.
콤팩트 리만 다양체
M
{\displaystyle M}
매끄러운 함수 에 대한 라플라스 연산자를 생각하자. 이는 사실 복소수 힐베르트 공간 (르베그 공간 )
H
=
L
2
(
M
;
C
)
{\displaystyle {\mathcal {H}}=\operatorname {L} ^{2}(M;\mathbb {C} )}
조밀 한 부분 집합 위에 정의된다. 따라서, 임의의
t
∈
R
{\displaystyle t\in \mathbb {R} }
유계 작용소
exp
(
i
t
Δ
)
:
H
→
H
{\displaystyle \exp(\mathrm {i} t\Delta )\colon {\mathcal {H}}\to {\mathcal {H}}}
가
H
{\displaystyle {\mathcal {H}}}
이제, 위 유계 작용소 의 고윳값 을 생각할 수 있다. 이는 물론
exp
(
−
i
t
λ
i
)
{\displaystyle \exp(-\mathrm {i} t\lambda _{i})}
−
λ
i
{\displaystyle -\lambda _{i}}
고윳값 으로 여길 수 있다.
이 경우,
{
λ
i
}
{\displaystyle \{\lambda _{i}\}}
가산 집합 이며,
0
=
λ
0
<
λ
1
≤
λ
2
≤
λ
3
≤
⋯
{\displaystyle 0=\lambda _{0}<\lambda _{1}\leq \lambda _{2}\leq \lambda _{3}\leq \cdots }
λ
0
=
0
{\displaystyle \lambda _{0}=0}
고윳값 인 것은 상수 함수 가 그 고유 벡터 이기 때문이다.
λ
i
≥
0
{\displaystyle \lambda _{i}\geq 0}
부분 적분 에 따라
λ
∫
M
|
f
|
2
det
g
=
−
∫
M
f
Δ
f
det
g
=
∫
M
g
(
∇
f
,
∇
f
)
det
g
≥
0
{\displaystyle \lambda \int _{M}|f|^{2}{\sqrt {\det g}}=-\int _{M}f\Delta f{\sqrt {\det g}}=\int _{M}g(\nabla f,\nabla f){\sqrt {\det g}}\geq 0}
이기 때문이다. 양자 역학 에서
H
=
−
Δ
{\displaystyle H=-\Delta }
해밀토니언 연산자 이므로, 이는 콤팩트 공간 위의 자유 입자의 에너지가 음이 아님을 나타낸다.)
리크네로비츠-오바타 정리 (Lichnerowicz-[小畠]定理, 영어 : Lichnerowicz–Obata theorem )에 따르면, 만약
n
≥
2
{\displaystyle n\geq 2}
R
−
2
=
inf
X
∈
Γ
∞
(
T
M
∖
M
)
Ric
(
X
,
X
)
g
(
X
,
X
)
>
0
{\displaystyle R^{-2}=\inf _{X\in \Gamma ^{\infty }(\mathrm {T} M\setminus M)}{\frac {\operatorname {Ric} (X,X)}{g(X,X)}}>0}
라면,
λ
1
{\displaystyle \lambda _{1}}
λ
1
≥
C
n
n
−
1
{\displaystyle \lambda _{1}\geq {\frac {Cn}{n-1}}}
여기서
Γ
∞
(
T
M
∖
M
)
{\displaystyle \Gamma ^{\infty }(\mathrm {T} M\setminus M)}
벡터장 들의 공간이며,
Ric
(
−
,
−
)
{\displaystyle \operatorname {Ric} (-,-)}
리치 곡률 텐서 이다. 반대로, 만약 위 부등식이 포화된다면
M
{\displaystyle M}
연결 단일 연결 공간 일 경우) 반지름
R
{\displaystyle R}
초구 이다.
함수의 경우 편집 만약
E
=
M
×
R
{\displaystyle E=M\times \mathbb {R} }
선다발 일 경우,
E
{\displaystyle E}
M
{\displaystyle M}
매끄러운 함수 이다. 이 경우 라플라스 연산자는 라플라스-벨트라미 연산자 (영어 : Laplace–Beltrami operator )라고 하며, 이 경우 다음과 같은 특별한 공식이 존재한다.
Δ
s
=
1
det
g
∂
i
(
det
g
g
i
j
∂
j
s
)
{\displaystyle \Delta s={\frac {1}{\sqrt {\det g}}}\partial _{i}\left({\sqrt {\det g}}g^{ij}\partial _{j}s\right)}
여기서
det
g
i
j
{\displaystyle \det g_{ij}}
계량 텐서 의 성분의 행렬식 이다.
텐서장의 경우 편집 만약
E
=
(
T
M
)
⊗
p
⊗
(
T
∗
M
)
⊗
q
{\displaystyle E=(\mathrm {T} M)^{\otimes p}\otimes (\mathrm {T} ^{*}\!M)^{\otimes q}}
가
(
p
,
q
)
{\displaystyle (p,q)}
벡터 다발 일 경우,
E
{\displaystyle E}
리만 계량 에 의한 표준적인 코쥘 접속 인 레비치비타 접속 이 존재한다. 이 경우, 레비치비타 접속을 사용한 라플라스 연산자를 역시 라플라스-벨트라미 연산자 라고 한다.
예를 들어, 벡터장 의 라플라스-벨트라미 연산자는 다음과 같다.
(
Δ
X
)
i
=
g
j
k
(
∇
j
∇
k
X
)
i
=
g
j
k
∂
j
∂
k
X
i
+
2
g
j
k
Γ
j
i
′
i
∂
k
X
i
′
+
g
j
k
(
∂
j
i
′
i
Γ
k
i
″
i
′
+
Γ
j
i
′
i
Γ
j
i
″
i
′
)
X
i
″
{\displaystyle (\Delta X)^{i}=g^{jk}(\nabla _{j}\nabla _{k}X)^{i}=g^{jk}\partial _{j}\partial _{k}X^{i}+2g^{jk}\Gamma _{ji'}^{i}\partial _{k}X^{i'}+g^{jk}\left(\partial _{ji'}^{i}\Gamma _{ki''}^{i'}+\Gamma _{ji'}^{i}\Gamma _{ji''}^{i'}\right)X^{i''}}
유클리드 공간의 경우 편집 유클리드 공간
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
매끄러운 함수
f
:
R
n
→
R
{\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }
직교 좌표계 에서 다음과 같다.
Δ
f
=
∑
i
=
1
n
∂
2
f
∂
x
i
2
{\displaystyle \Delta f=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}^{2}}}}
초구면 좌표계
(
r
,
θ
1
,
θ
2
,
…
,
θ
n
−
1
)
{\displaystyle (r,\theta _{1},\theta _{2},\ldots ,\theta _{n-1})}
에서 라플라스 연산자는 다음과 같다.
Δ
f
=
r
1
−
n
∂
∂
r
(
r
n
−
1
∂
∂
r
f
)
+
r
−
2
∇
S
n
−
1
f
{\displaystyle \Delta f=r^{1-n}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{n-1}{\frac {\partial }{\partial r}}f\right)+r^{-2}\nabla _{\mathbb {S} ^{n-1}}f}
여기서
∇
S
n
−
1
{\displaystyle \nabla _{\mathbb {S} ^{n-1}}}
초구 위의 라플라스-벨트라미 연산자로, 다음과 같다.
∇
S
n
−
1
f
=
∑
i
=
1
n
−
1
1
(
sin
2
θ
1
⋯
sin
2
θ
i
−
1
)
sin
n
−
i
−
1
θ
i
∂
∂
θ
i
(
sin
n
−
i
−
1
θ
i
∂
∂
θ
i
f
)
{\displaystyle \nabla _{\mathbb {S} ^{n-1}}f=\sum _{i=1}^{n-1}{\frac {1}{(\sin ^{2}\theta _{1}\cdots \sin ^{2}\theta _{i-1})\sin ^{n-i-1}\theta _{i}}}{\frac {\partial }{\partial \theta _{i}}}\left(\sin ^{n-i-1}\theta _{i}{\frac {\partial }{\partial \theta _{i}}}f\right)}
유도:
구면 좌표계
(
r
,
θ
1
,
…
,
θ
n
−
1
)
{\displaystyle (r,\theta _{1},\ldots ,\theta _{n-1})}
리만 계량 은
d
s
2
=
d
r
2
+
r
2
d
θ
1
2
+
r
2
sin
2
θ
1
d
θ
2
1
+
r
2
sin
2
θ
1
sin
2
θ
2
d
θ
3
2
+
⋯
+
r
2
sin
2
θ
1
⋯
sin
2
θ
n
−
2
d
θ
n
−
1
2
{\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=\mathrm {d} r^{2}+r^{2}\mathrm {d} \theta _{1}^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta _{1}\mathrm {d} \theta _{2}^{1}+r^{2}\sin ^{2}\theta _{1}\sin ^{2}\theta _{2}\mathrm {d} \theta _{3}^{2}+\cdots +r^{2}\sin ^{2}\theta _{1}\cdots \sin ^{2}\theta _{n-2}\mathrm {d} \theta _{n-1}^{2}}
이다. 따라서 리만 계량 의 행렬식 의 제곱근 은
det
g
=
r
n
−
1
sin
n
−
2
θ
1
sin
n
−
3
θ
2
⋯
sin
θ
n
−
2
{\displaystyle {\sqrt {\det g}}=r^{n-1}\sin ^{n-2}\theta _{1}\sin ^{n-3}\theta _{2}\cdots \sin \theta _{n-2}}
이며,
Δ
f
=
r
1
−
n
∂
r
(
r
n
−
1
∂
r
f
)
+
r
−
2
sin
2
−
n
θ
1
∂
θ
1
(
sin
n
−
2
θ
1
∂
θ
1
f
)
+
1
r
2
cos
2
θ
1
sin
3
−
n
θ
2
(
sin
n
−
3
θ
2
∂
θ
2
f
)
+
⋯
{\displaystyle \Delta f=r^{1-n}\partial _{r}(r^{n-1}\partial _{r}f)+r^{-2}\sin ^{2-n}\theta _{1}\partial _{\theta _{1}}(\sin ^{n-2}\theta _{1}\partial _{\theta _{1}}f)+{\frac {1}{r^{2}\cos ^{2}\theta _{1}}}\sin ^{3-n}\theta _{2}\left(\sin ^{n-3}\theta _{2}\partial _{\theta _{2}}f\right)+\cdots }
이다.
예를 들어, 2차원 초구면 좌표계(=극좌표계 )에서의 라플라스 연산자는 다음과 같다.
Δ
f
=
1
r
∂
∂
r
(
r
∂
f
∂
r
)
+
1
r
2
∂
2
f
∂
θ
2
{\displaystyle \Delta f={1 \over r}{\partial \over \partial r}\left(r{\partial f \over \partial r}\right)+{1 \over r^{2}}{\partial ^{2}f \over \partial \theta ^{2}}}
마찬가지로, 3차원 원통 좌표계 에서의 라플라스 연산자는 다음과 같다.
Δ
f
=
1
r
∂
∂
r
(
r
∂
f
∂
r
)
+
1
r
2
∂
2
f
∂
θ
2
+
∂
2
f
∂
z
2
{\displaystyle \Delta f={\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial f}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \theta ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}}
마찬가지로, 3차원 구면 좌표계
(
r
,
θ
,
ϕ
)
{\displaystyle (r,\theta ,\phi )}
Δ
f
=
1
r
2
∂
∂
r
(
r
2
∂
f
∂
r
)
+
1
r
2
sin
θ
∂
∂
θ
(
sin
θ
∂
f
∂
θ
)
+
1
r
2
sin
2
θ
∂
2
f
∂
ϕ
2
{\displaystyle \Delta f={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}{\frac {\partial f}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial f}{\partial \theta }}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \phi ^{2}}}}
민코프스키 공간 편집 민코프스키 공간
R
n
,
1
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n,1}}
리만 다양체 가 아니지만 준 리만 다양체 이며, 이 경우의 라플라스 연산자는 달랑베르 연산자 리만 다양체 의 경우와 달리) 타원형 미분 연산자 가 아니다.
라플라스 연산자는 물리학 또는 화학에서 벡터장의 퍼텐셜을 이용해 벡터장의 특성을 나타낼 때 사용된다. 예를 들어, 전기장의 퍼텐셜인 전기 퍼텐셜에 라플라스 연산자는 취하면 전하 밀도를 유전률 상수로 나눈 값이 되는데, 이것은 푸아송 방정식 의 하나로 이것의 해를 찾는 것은 정전기학에서 중요한 문제이다.
참고 문헌 편집
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