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라플라스 방정식

정의편집

 차원 리만 다양체에서  라플라스-벨트라미 연산자라고 하자. 그렇다면 라플라스 방정식은 다음과 같은 2차 편미분방정식이다.

 .

3차원 유클리드 공간에서는

 

이므로,

 

이 된다.

관련된 편미분 방정식편집

우변을 주어진 함수  로 바꾼 경우

 

푸아송 방정식이라고 한다. 즉, 라플라스 방정식은  인 푸아송 방정식의 특수한 경우다.

우변을 다음과 같이 바꾸면

 

헬름홀츠 방정식을 얻는다. 라플라스 방정식은  인 경우다.

코시-리만 방정식의 해의 두 성분 모두 각각 라플라스 방정식을 만족한다. (즉, 정칙함수의 실수 또는 허수 성분은 조화함수다.)

경계 조건편집

라플라스 방정식의 디리클레 문제란 어떤 영역  의 경계에서의 φ가 특정 함수로 주어졌을 때, 영역  위의 해 φ를 구하는 것이다. 열전도에서 등장하는 라플라스 방정식을 빗대어 보면, 이 문제는 다음과 같이 해석할 수 있다. 경계면의 온도를 특정한 온도로 일정하게 유지하고 내부의 온도가 더 이상 변화하지 않을 때까지 기다린 후 내부의 온도 분포를 찾는 것이 디리클레 문제에 해당한다.

라플라스 방정식의 노이만 경계 조건은 경계 D에서 함수   자신이 아니라 법선 도함수를 조건으로 가진다. 물리학에서는 경계에서만 벡터장의 효과를 알고 있을 때 그 벡터장의 퍼텐셜을 구하는 데 사용한다.

라플라스 방정식의 해를 조화 함수라고 한다. 조화 함수는 방정식의 해가 되는 영역에서는 항상 해석적이다. 만일 두 함수가 각각 라플라스 방정식(또는 선형 동차 미분방정식)의 해라면, 두 함수의 선형 결합도 해이다. 이 성질을 중첩의 원리라고 하며 복잡한 문제의 해를 간단한 해들로 나타낼 수 있기 때문에 유용하게 쓰인다.

2차원 라플라스 방정식편집

2차원에서 라플라스 방정식은 두 개의 의존변수

 

의 형태로 나타난다.

2차원 라플라스 방정식의 차분방정식편집

 

 는 격하게 (mesh size)

푸아송 방정식의 차분방정식은 다음과 같다.

 

해석적 함수편집

복소 범위의 해석적 함수  의 실수부와 허수부는 모두 라플라스 방정식을 만족한다.  이고

 

라 하자.  가 해석적이려면

 

를 만족해야 한다(코시-리만 방정식). 여기서

 

이다. 따라서   는 라플라스 방정식을 만족한다.  도 비슷한 방법으로 라플라스 방정식을 만족함을 보일 수 있다.

2차원 라플라스 방정식과 푸리에 급수편집

극좌표계  에서 라플라스 연산자는 다음과 같다.

 .

따라서 그 일반해는 변수분리법으로 구할 수 있고, 다음과 같다.

 .

이는 함수  푸리에 급수임을 알 수 있다. 이는

 

으로 나타낼 수 있다. 즉, 푸리에 급수의 계수는 로랑 급수의 계수와 같다.

3차원 라플라스 방정식편집

3차원 공간에서, 구면좌표계  에서 변수분리법을 적용하면 라플라스 방정식의 일반해는 다음과 같다.

 .

여기서  구면 조화 함수이고,   은 임의의 계수다. 물론,  가 원점에서 연속적이려면  이다.