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라플라스 변환(Laplace transform)은 어떠한 함수 에서 다른 함수로의 변환으로, 선형 동역학계와 같은 미분 방정식을 풀 때 유용하게 사용된다. 피에르시몽 라플라스의 이름을 따 붙여졌다.

라플라스 변환을 이용하면, 미분 방정식을 계수방정식으로 변환하여, 문제들을 쉽게 해결 할 수 있는 장점이 있다. 초깃값 문제의 경우 일차적으로 일반해를 구하는 단계가 필요없게 되고, 비제차 미분방정식의 경우에는 대응하는 제차미분방정식을 먼저 풀 필요가 없다. 라플라스 변환은 주어진 식을 간단한 식으로 변환한 뒤, 변형된 식을 푼다. 그리고 그렇게 풀어진 해를 다시 원식으로 변환한다.

정의편집

함수  의 라플라스 변환은 모든 실수 t ≥ 0 에 대해, 다음과 같은 함수  로 정의된다[1].

 

여기서   를 간단히 나타낸 것이고 복소수  , σ와 ω는 실수이다.

실제 사용시에는 엄밀히 정확하지는 않지만  로 표기하기도 한다.


성질편집

선형성편집

 

미분편집

 
 
 
 
 
 

적분편집

 

t shifting편집

 
 

참고:  층계 함수이다.

합성곱편집

 

주기가 p인 주기함수의 라플라스 변환편집

 

역변환편집

함수  의 라플라스 변환을  라 하면 다음 식을 통해  로부터  를 구할 수 있다.

 

하지만 보통 위의 계산을 직접 하기 보다는 이미 알려져 있는 라플라스 변환들을 이용해 역변환을 구하는 것이 쉽다. 예를 들어

 

 가 주어져 있는 경우 부분분수 분해를 통해

 

를 얻게되고 라플라스 변환의 선형성으로부터  는 다음과 같다.

 

미분방정식의 풀이편집

상수 계수를 갖는 선형 상미분 방정식편집

다음과 같은  차 연립 상미분 방정식을 고려하자

 

양변에 라플라스 변환을 취하면

 

이고 이를  에 관해 정리하면

 

이다. 따라서,  는 다음과 같다[2].

 

참고 문헌편집

  1. Kreyszig, E. (2006). 《Advanced Engineering Mathematics》 9판. John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-72897-9. 
  2. Chen, C.-T. (2009). 《Linear System Theory and Design》 3판. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-539207-4. 

같이 보기편집