주 메뉴 열기

랴푸노프 방정식

랴푸노프 방정식

제어이론에서 이산 랴푸노프 방정식은 다음과 같은 형태이다.

여기서 Q는 에르미트 행렬이다. 연속 랴푸노프 방정식의 형태는 다음과 같다.

.

랴푸노프 방정식은 제어 이론의 많은 분야에서 사용 되는데, 예를 들어 랴푸노프 안정성, 최적 제어 등이 있다. 이 방정식은 러시아 수학자알렉산드르 랴푸노프의 이름을 따온 것이다.

안정성 증명편집

행렬   와 대칭행렬   에 대하여 다음의 정리가 성립한다.

정리(이산 시간 버전). 주어진   에 대하여,   을 만족하는  ,   가 존재하면, 선형 시스템   는 초기조건에 관계없이 0 으로 수렴한다. 이 때 이차함수   는 안정화를 확인하는 랴푸노프 함수이다.

정리(연속 시간 버전). 주어진   에 대하여,   을 만족하는  ,   가 존재하면, 선형 시스템  는 초기조건에 관계없이 0 으로 수렴한다. 이 때 이차함수   는 랴푸노프 함수이다.

해의 계산편집

주어진   에 대하여   의 열을 쌓아서 벡터로 변환하는 연사자로 정의하고,     의 크로네커 곱으로 정의하자. 두 연산자를 사용하여 랴푸노프 방정식을 선형 방정식으로 변환할 수 있고,  가 안정한 경우 적분 (연속 시간의 경우) 혹은 무한급수 (이산 시간의 경우) 를 사용하여 해를 표현할 수 있다.

이산 시간편집

연산자  의 성질인  를 이용하면, 랴푸노프 방정식을 다음과 같이 표현할 수 있다.

 

이 때  은 항등행렬이고,  의 원소는  의 원소의 복소켤레들이다.[1] 위의 선형 방정식을 풀고나면   를 얻고, 이를 통해  를 얻을 수 있다. 만약  가 안정한 경우,  는 다음과 같이 구할 수도 있다.

 .

연속 시간편집

이산 시간의 경우와 마찬가지로  를 이용하여 다음의 선형 방정식을 얻을 수 있다.

 

만약  가 안정한 경우,  는 다음과 같이 구할 수도 있다.

 .

컴퓨터를 이용한 해의 계산편집

소프트웨어를 이용하여 랴푸노프 방정식의 해를 구할 수 있다. 이산 시간의 경우는 키타가와의 슈어 방법(the Schur method of Kitagawa (1977))이 자주 사용된다. 연속 시간의 경우는 바터와 슈튜어트의 방법(method of Bartels and Stewart (1972))을 사용한다.

관련 항목편집

참고 문헌편집

  • Kitagawa: An Algorithm for Solving the Matrix Equation X = F X F' + S, International Journal of Control, Vol. 25, No. 5, p745–753 (1977).
  • R. H. Bartels and G. W. Stewart: Algorithm 432: Solution of the matrix equation AX + XB = C, Comm. ACM, 15 (1972), p820-826.

각주편집

  1. Hamilton, J. (1994). 《Time Series Analysis》. Princeton University Press. Equations 10.2.13 and 10.2.18. ISBN 0-691-04289-6.