실해석학 에서 로피탈의 정리 (영어 : l'Hôpital's rule, l'Hospital's rule ) 또는 로피탈의 법칙 또는 베르누이 의 규칙영어 : Bernoulli's rule )[1] 도함수 를 통해 부정형 의 극한 을 구하는 정리이다.
h (x ) = f (x ) /g (x )x = 0h (0) =f′ (0)/g′ (0)
확장된 실수 a , L ∈ R ∪ { − ∞ , ∞ } {\displaystyle a,L\in \mathbb {R} \cup \{-\infty ,\infty \}} 함수 f , g : I → R {\displaystyle f,g\colon I\to \mathbb {R} } I {\displaystyle I} a ≠ ± ∞ {\displaystyle a\neq \pm \infty } a {\displaystyle a} a = ± ∞ {\displaystyle a=\pm \infty } a {\displaystyle a}
f , g {\displaystyle f,g} 근방 I ∖ { a } {\displaystyle I\setminus \{a\}} 미분 가능 함수 이다.다음 둘 가운데 하나가 성립한다.
lim x → a f ( x ) = lim x → a g ( x ) = 0 {\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=\lim _{x\to a}g(x)=0} lim x → a | f ( x ) | = lim x → a | g ( x ) | = ∞ {\displaystyle \lim _{x\to a}|f(x)|=\lim _{x\to a}|g(x)|=\infty }
lim x → a f ′ ( x ) g ′ ( x ) = L {\displaystyle \lim _{x\to a}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}=L} 그렇다면, 다음이 성립한다.
lim x → a f ( x ) g ( x ) = L {\displaystyle \lim _{x\to a}{\frac {f(x)}{g(x)}}=L}
x → a ≠ ±∞ (0/0)
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우선 a ≠ ± ∞ {\displaystyle a\neq \pm \infty } lim x → a f ( x ) = lim x → a g ( x ) = 0 {\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=\lim _{x\to a}g(x)=0} f ( a ) = g ( a ) = 0 {\displaystyle f(a)=g(a)=0} f , g {\displaystyle f,g} I {\displaystyle I} I ∖ { a } {\displaystyle I\setminus \{a\}} 코시 평균값 정리 에 따라, 다음이 성립한다.
lim x → a f ( x ) g ( x ) = lim x → a f ( x ) − f ( a ) g ( x ) − g ( a ) = lim ξ x → a f ′ ( ξ x ) g ′ ( ξ x ) = L {\displaystyle \lim _{x\to a}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to a}{\frac {f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}}=\lim _{\xi _{x}\to a}{\frac {f'(\xi _{x})}{g'(\xi _{x})}}=L} x → a ≠ ±∞ (∞/∞)
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이제 a ≠ ± ∞ {\displaystyle a\neq \pm \infty } lim x → a | f ( x ) | = lim x → a | g ( x ) | = ∞ {\displaystyle \lim _{x\to a}|f(x)|=\lim _{x\to a}|g(x)|=\infty } L ≠ ± ∞ {\displaystyle L\neq \pm \infty } ϵ > 0 {\displaystyle \epsilon >0} ( a , b ) ⊆ I {\displaystyle (a,b)\subseteq I}
L − ϵ < f ′ ( ξ ) g ′ ( ξ ) < L + ϵ ( ξ ∈ ( a , b ) ) {\displaystyle L-\epsilon <{\frac {f'(\xi )}{g'(\xi )}}<L+\epsilon \qquad (\xi \in (a,b))} 코시 평균값 정리에 따라, 임의의 x ∈ ( a , b ) {\displaystyle x\in (a,b)} ξ x ∈ ( x , b ) {\displaystyle \xi _{x}\in (x,b)}
f ′ ( ξ x ) g ′ ( ξ x ) = f ( x ) − f ( b ) g ( x ) − g ( b ) = f ( x ) g ( x ) − f ( b ) g ( x ) 1 − g ( b ) g ( x ) {\displaystyle {\frac {f'(\xi _{x})}{g'(\xi _{x})}}={\frac {f(x)-f(b)}{g(x)-g(b)}}={\frac {{\frac {f(x)}{g(x)}}-{\frac {f(b)}{g(x)}}}{1-{\frac {g(b)}{g(x)}}}}} 즉,
f ( x ) g ( x ) = f ′ ( ξ x ) g ′ ( ξ x ) ( 1 − g ( b ) g ( x ) ) + f ( b ) g ( x ) {\displaystyle {\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {f'(\xi _{x})}{g'(\xi _{x})}}\left(1-{\frac {g(b)}{g(x)}}\right)+{\frac {f(b)}{g(x)}}} 이 경우, lim x → a | g ( x ) | = ∞ {\displaystyle \lim _{x\to \ a}|g(x)|=\infty } ( a , b ′ ) ⊆ ( a , b ) {\displaystyle (a,b')\subseteq (a,b)}
f ( x ) g ( x ) < ( L + ϵ ) ( 1 − g ( b ) g ( x ) ) + f ( b ) g ( x ) < L + 2 ϵ ( x ∈ ( a , b ′ ) ) {\displaystyle {\frac {f(x)}{g(x)}}<(L+\epsilon )\left(1-{\frac {g(b)}{g(x)}}\right)+{\frac {f(b)}{g(x)}}<L+2\epsilon \qquad (x\in (a,b'))} f ( x ) g ( x ) > ( L − ϵ ) ( 1 − g ( b ) g ( x ) ) + f ( b ) g ( x ) > L − 2 ϵ ( x ∈ ( a , b ′ ) ) {\displaystyle {\frac {f(x)}{g(x)}}>(L-\epsilon )\left(1-{\frac {g(b)}{g(x)}}\right)+{\frac {f(b)}{g(x)}}>L-2\epsilon \qquad (x\in (a,b'))} 이에 따라, lim x → a + f ( x ) g ( x ) = L {\displaystyle \lim _{x\to a^{+}}{\frac {f(x)}{g(x)}}=L} lim x → a − f ( x ) g ( x ) = L {\displaystyle \lim _{x\to a^{-}}{\frac {f(x)}{g(x)}}=L}
마찬가지로, a ≠ ± ∞ {\displaystyle a\neq \pm \infty } lim x → a | f ( x ) | = lim x → a | g ( x ) | = ∞ {\displaystyle \lim _{x\to a}|f(x)|=\lim _{x\to a}|g(x)|=\infty } L = ± ∞ {\displaystyle L=\pm \infty }
x → ±∞
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마지막으로, a = ∞ {\displaystyle a=\infty }
lim x → ∞ f ( x ) g ( x ) = lim t → 0 + f ( 1 t ) g ( 1 t ) = lim t → 0 + f ′ ( 1 t ) ⋅ ( − 1 t 2 ) g ′ ( 1 t ) ⋅ ( − 1 t 2 ) = lim x → ∞ f ′ ( x ) g ′ ( x ) = L {\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{t\to 0^{+}}{\frac {f({\frac {1}{t}})}{g({\frac {1}{t}})}}=\lim _{t\to 0^{+}}{\frac {f'({\frac {1}{t}})\cdot (-{\frac {1}{t^{2}}})}{g'({\frac {1}{t}})\cdot (-{\frac {1}{t^{2}}})}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {f'(x)}{g'(x)}}=L} 마찬가지로, a = − ∞ {\displaystyle a=-\infty }
lim x → 0 sin x x = lim x → 0 cos x 1 = cos 0 = 1 {\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}=\lim _{x\to 0}{\frac {\cos x}{1}}=\cos 0=1} lim x → 0 a x − 1 x = lim x → 0 a x ln a 1 = ln a {\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {a^{x}-1}{x}}=\lim _{x\to 0}{\frac {a^{x}\ln a}{1}}=\ln a} lim x → 0 x − sin x x 3 = lim x → 0 1 − cos x 3 x 2 = lim x → 0 sin x 6 x = 1 6 {\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {x-\sin x}{x^{3}}}=\lim _{x\to 0}{\frac {1-\cos x}{3x^{2}}}=\lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{6x}}={\frac {1}{6}}} lim x → ∞ x ( π 2 − arctan x ) = lim x → ∞ π 2 − arctan x 1 x = lim x → ∞ − 1 1 + x 2 − 1 x 2 = lim x → ∞ x 2 1 + x 2 = 1 {\displaystyle \lim _{x\to \infty }x\left({\frac {\pi }{2}}-\arctan x\right)=\lim _{x\to \infty }{\frac {{\frac {\pi }{2}}-\arctan x}{\frac {1}{x}}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {-{\frac {1}{1+x^{2}}}}{-{\frac {1}{x^{2}}}}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {x^{2}}{1+x^{2}}}=1} lim x → ∞ ln x x = lim x → ∞ 1 x 1 = 0 {\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {\ln x}{x}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {\frac {1}{x}}{1}}=0} lim x → ∞ x 2 e x = lim x → ∞ 2 x e x = lim x → ∞ 2 e x = 0 {\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {x^{2}}{e^{x}}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {2x}{e^{x}}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {2}{e^{x}}}=0} lim x → 0 + x ln x = lim x → 0 + ln x 1 x = lim x → 0 + 1 x − 1 x 2 = lim x → 0 + ( − x ) = 0 {\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}x\ln x=\lim _{x\to 0^{+}}{\frac {\ln x}{\frac {1}{x}}}=\lim _{x\to 0^{+}}{\frac {\frac {1}{x}}{-{\frac {1}{x^{2}}}}}=\lim _{x\to 0^{+}}(-x)=0} lim x → 0 + x x = lim x → 0 + e x ln x = e 0 = 1 {\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}x^{x}=\lim _{x\to 0^{+}}e^{x\ln x}=e^{0}=1} lim x → 0 ( 1 sin x − 1 x ) = lim x → 0 x − sin x x sin x = lim x → 0 x − sin x x 2 = lim x → 0 1 − cos x 2 x = lim x → 0 sin x 2 = 0 {\displaystyle \lim _{x\to 0}\left({\frac {1}{\sin x}}-{\frac {1}{x}}\right)=\lim _{x\to 0}{\frac {x-\sin x}{x\sin x}}=\lim _{x\to 0}{\frac {x-\sin x}{x^{2}}}=\lim _{x\to 0}{\frac {1-\cos x}{2x}}=\lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{2}}=0} lim x → ∞ x 1 x = lim x → ∞ e ln x x = e 0 = 1 {\displaystyle \lim _{x\to \infty }x^{\frac {1}{x}}=\lim _{x\to \infty }e^{\frac {\ln x}{x}}=e^{0}=1} lim x → 0 + ( cot x ) 1 ln x = lim x → 0 + e ln cot x ln x = lim x → 0 + e − tan x − cot x 1 / x = lim x → 0 + e − x sin x cos x = e − 1 {\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}(\cot x)^{\frac {1}{\ln x}}=\lim _{x\to 0^{+}}e^{\frac {\ln \cot x}{\ln x}}=\lim _{x\to 0^{+}}e^{\frac {-\tan x-\cot x}{1/x}}=\lim _{x\to 0^{+}}e^{-{\frac {x}{\sin x\cos x}}}=e^{-1}} 도함수의 비의 극한이 존재하지 않을 때
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다음과 같은 전제 조건은 로피탈의 정리에서 제거할 수 없다.
lim x → a f ′ ( x ) g ′ ( x ) = L ∈ R ∪ { − ∞ , ∞ } {\displaystyle \lim _{x\to a}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}=L\in \mathbb {R} \cup \{-\infty ,\infty \}} 즉, 이러한 도함수의 비의 극한이 확장된 실수로서 존재하지 않을 경우, 로피탈의 정리는 당연히 효력을 잃는다. 그러나 이 경우에도, 원래 함수의 비의 극한은 확장된 실수로서 존재할 수 있다. 예를 들어,
lim x → ∞ ( x + sin x ) ′ x ′ = lim x → ∞ 1 + cos x 1 ∈ ∅ {\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {(x+\sin x)'}{x'}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {1+\cos x}{1}}\in \varnothing } 이지만, (여기서 ∈ ∅ {\displaystyle \in \varnothing }
lim x → ∞ x + sin x x = 1 {\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {x+\sin x}{x}}=1} 이다. 또한, 도함수의 비의 극한이 존재하는지와 상관 없이, 만약 남은 전제 조건들을 모두 만족시킨다면, 다음이 성립한다.
lim inf x → a f ′ ( x ) g ′ ( x ) ≤ lim inf x → a f ( x ) g ( x ) ≤ lim sup x → a f ( x ) g ( x ) ≤ lim sup x → a f ′ ( x ) g ′ ( x ) {\displaystyle \liminf _{x\to a}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}\leq \liminf _{x\to a}{\frac {f(x)}{g(x)}}\leq \limsup _{x\to a}{\frac {f(x)}{g(x)}}\leq \limsup _{x\to a}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}} 분모의 도함수가 끊임없이 0이 될 때
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만약 g ′ ( x ) = 0 {\displaystyle g'(x)=0} x {\displaystyle x} x → ∞ {\displaystyle x\to \infty } 0 = g ′ ( x 0 ) = g ′ ( x 1 ) = ⋯ {\displaystyle 0=g'(x_{0})=g'(x_{1})=\cdots } x n → ∞ {\displaystyle x_{n}\to \infty } f ′ / g ′ {\displaystyle f'/g'} ( b , ∞ ) {\displaystyle (b,\infty )} ∞ {\displaystyle \infty } g ′ {\displaystyle g'}
lim x → ∞ ( x + sin x cos x ) ′ ( e sin x ( x + sin x cos x ) ) ′ = lim x → ∞ 2 cos 2 x cos x e sin x ( 2 cos x + x + sin x cos x ) = lim x → ∞ 2 cos x e sin x ( 2 cos x + x + sin x cos x ) = 0 {\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {(x+\sin x\cos x)'}{(e^{\sin x}(x+\sin x\cos x))'}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {2\cos ^{2}x}{\cos xe^{\sin x}(2\cos x+x+\sin x\cos x)}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {2\cos x}{e^{\sin x}(2\cos x+x+\sin x\cos x)}}=0} lim x → ∞ x + sin x cos x e sin x ( x + sin x cos x ) = lim x → ∞ e − sin x ∈ ∅ {\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {x+\sin x\cos x}{e^{\sin x}(x+\sin x\cos x)}}=\lim _{x\to \infty }e^{-\sin x}\in \varnothing } 관련 정리
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복소함수의 경우
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복소변수 함수의 경우 일반적인 로피탈의 정리를 적용할 수 없다. 예를 들어 0 < x < 1 {\displaystyle 0<x<1} f ( x ) = x , g ( x ) = x + x 2 e i / x 2 {\displaystyle f(x)=x,g(x)=x+x^{2}e^{i/x^{2}}} | e i t | = 1 {\displaystyle |e^{it}|=1}
lim x → 0 f ( x ) g ( x ) = 1 {\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {f(x)}{g(x)}}=1} 가 되지만,
g ′ ( x ) = 1 + ( 2 x − 2 i x ) e i / x 2 {\displaystyle g'(x)=1+\left(2x-{\frac {2i}{x}}\right)e^{i/x^{2}}} 이므로
| g ′ ( x ) | ≥ | 2 x − 2 i x | − 1 ≥ 2 x − 1 {\displaystyle |g'(x)|\geq \left|2x-{\frac {2i}{x}}\right|-1\geq {\frac {2}{x}}-1} 삼각 부등식 )이므로
| f ′ ( x ) g ′ ( x ) | = | 1 g ′ ( x ) | ≤ x 2 − x {\displaystyle \left|{\frac {f'(x)}{g'(x)}}\right|=\left|{\frac {1}{g'(x)}}\right|\leq {\frac {x}{2-x}}} 가 되어 x 를 0으로 보내는 값은 0이 된다.[2] :112-113
복소변수 함수의 경우 로피탈의 정리가 적용 가능하기 위해서는 f'와 g'의 값이 존재해야 한다는 강한 조건을 만족해야 한다. 즉, 복소변수 함수에서 성립하는 로피탈의 정리는 다음과 같다.[3]
복소함수 f와 g가 a에서 해석적 이라 하자. f(a) = 0 = g(a)이지만 g'(a) ≠ 0, 또는 f(a) = ±∞ = g(a)이면, 다음이 성립한다.
lim z → a f ( z ) g ( z ) = f ′ ( a ) g ′ ( a ) . {\displaystyle \lim _{z\to a}{\frac {f(z)}{g(z)}}={\frac {f'(a)}{g'(a)}}.} 슈톨츠-체사로 정리
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일반적인 함수의 극한 계산에 이용되는 로피탈의 정리와 달리, 수열 의 극한 계산에만 사용되는 로피탈의 정리의 유사 형태로 슈톨츠-체사로 정리가 있다.
정리의 이름은 17세기 에 활동하였던 프랑스 의 수학자 이자 후작 인 기욤 드 로피탈 의 이름에서 유래되었다. 그는 저서 《곡선을 이해하기 위한 무한소 해석》(l'Analyse des Infiniment Petits pour l'Intelligence des Lignes Courbes )에서 이 정리를 소개하였다.
외부 링크
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이 부분의 본문은 슈톨츠-체사로 정리입니다.