룽게-쿠타 방법 은 다음 상미분방정식 의 수치해법이다
d
y
d
t
=
f
(
t
,
y
)
{\displaystyle {\frac {dy}{dt}}=f(t,y)}
이 수치해법은 다음의 형태를 가진다.
y
n
+
1
=
y
n
+
h
∑
i
=
1
s
b
i
k
i
{\displaystyle y_{n+1}=y_{n}+h\sum _{i=1}^{s}b_{i}k_{i}}
k
1
=
f
(
t
n
,
y
n
)
,
{\displaystyle k_{1}=f(t_{n},y_{n}),}
k
2
=
f
(
t
n
+
c
2
h
,
y
n
+
h
(
a
21
k
1
)
)
,
{\displaystyle k_{2}=f(t_{n}+c_{2}h,y_{n}+h(a_{21}k_{1})),}
k
3
=
f
(
t
n
+
c
3
h
,
y
n
+
h
(
a
31
k
1
+
a
32
k
2
)
)
,
{\displaystyle k_{3}=f(t_{n}+c_{3}h,y_{n}+h(a_{31}k_{1}+a_{32}k_{2})),}
⋮
{\displaystyle \vdots }
k
i
=
f
(
t
n
+
c
i
h
,
y
n
+
h
∑
j
=
1
i
−
1
a
i
j
k
j
)
,
{\displaystyle k_{i}=f\left(t_{n}+c_{i}h,y_{n}+h\sum _{j=1}^{i-1}a_{ij}k_{j}\right),}
이 문서에 있는 모든 방법은 다음과 같이 계수를 배열한 Butcher 테이블 로 정의하였다:
c
1
a
11
a
12
…
a
1
s
c
2
a
21
a
22
…
a
2
s
⋮
⋮
⋮
⋱
⋮
c
s
a
s
1
a
s
2
…
a
s
s
b
1
b
2
…
b
s
{\displaystyle {\begin{array}{c|cccc}c_{1}&a_{11}&a_{12}&\dots &a_{1s}\\c_{2}&a_{21}&a_{22}&\dots &a_{2s}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\c_{s}&a_{s1}&a_{s2}&\dots &a_{ss}\\\hline &b_{1}&b_{2}&\dots &b_{s}\\\end{array}}}
명시적 방법
편집
명시적 방법은 행렬
[
a
i
j
]
{\displaystyle [a_{ij}]}
이 하삼각행렬 인 방법이다.
오일러 방법 은 일차이다. 안정성과 정확성이 부족하기 때문에 주로 수치 해석 방법의 간단한 예제로 사용한다.
0
0
1
{\displaystyle {\begin{array}{c|c}0&0\\\hline &1\\\end{array}}}
명시적 중간점 방법
편집
(명시적) 중간점 방법 은 두 단계의 이차 방법이다(아래의 암시적 중간점 방법을 보라):
0
0
0
1
/
2
1
/
2
0
0
1
{\displaystyle {\begin{array}{c|cc}0&0&0\\1/2&1/2&0\\\hline &0&1\\\end{array}}}
호인의 방법
편집
호인의 방법 은 두 단계의 이차 방법이다(또한 명시적 사다리꼴 공식으로도 알려져 있다):
0
0
0
1
1
0
1
/
2
1
/
2
{\displaystyle {\begin{array}{c|cc}0&0&0\\1&1&0\\\hline &1/2&1/2\\\end{array}}}
랄스톤 방법
편집
랄스톤 방법은 두 단계 이차 방법이고 최소 지역오차 경계가 있다:
0
0
0
2
/
3
2
/
3
0
1
/
4
3
/
4
{\displaystyle {\begin{array}{c|cc}0&0&0\\2/3&2/3&0\\\hline &1/4&3/4\\\end{array}}}
일반적인 이차 방법
편집
0
0
0
x
x
0
1
−
1
2
x
1
2
x
{\displaystyle {\begin{array}{c|ccc}0&0&0\\x&x&0\\\hline &1-{\frac {1}{2x}}&{\frac {1}{2x}}\\\end{array}}}
쿠타 삼차 방법
편집
0
0
0
0
1
/
2
1
/
2
0
0
1
−
1
2
0
1
/
6
2
/
3
1
/
6
{\displaystyle {\begin{array}{c|ccc}0&0&0&0\\1/2&1/2&0&0\\1&-1&2&0\\\hline &1/6&2/3&1/6\\\end{array}}}
고전적 사차 방법
편집
"원조" 룽게-쿠타 방법이다.
0
0
0
0
0
1
/
2
1
/
2
0
0
0
1
/
2
0
1
/
2
0
0
1
0
0
1
0
1
/
6
1
/
3
1
/
3
1
/
6
{\displaystyle {\begin{array}{c|cccc}0&0&0&0&0\\1/2&1/2&0&0&0\\1/2&0&1/2&0&0\\1&0&0&1&0\\\hline &1/6&1/3&1/3&1/6\\\end{array}}}
3/8-규칙 사차 방법
편집
이 방법은 "고전적" 방법만큼 악명높진 않지만 같은 논문에서 제시되었기 때문에 동일하게 고전적이다(Kutta, 1901).
0
0
0
0
0
1
/
3
1
/
3
0
0
0
2
/
3
−
1
/
3
1
0
0
1
1
−
1
1
0
1
/
8
3
/
8
3
/
8
1
/
8
{\displaystyle {\begin{array}{c|cccc}0&0&0&0&0\\1/3&1/3&0&0&0\\2/3&-1/3&1&0&0\\1&1&-1&1&0\\\hline &1/8&3/8&3/8&1/8\\\end{array}}}
내장형 방법
편집
내장형 방법은 룽게-쿠타 한 단계의 지역 절단 오차를 계산하기 위해 설계되었고, 결과로 적응형 단계 크기 로 오차를 조절할 수 있게 되었다. 이것은 테이블에 있는 p차와 p-1차의 두 방법을 사용한다.
낮은차수의 단계는 다음과 같다
y
n
+
1
∗
=
y
n
+
h
∑
i
=
1
s
b
i
∗
k
i
,
{\displaystyle y_{n+1}^{*}=y_{n}+h\sum _{i=1}^{s}b_{i}^{*}k_{i},}
이때
k
i
{\displaystyle k_{i}}
는 고차 방법과 같다. 그러면 오차는 다음과 같다
e
n
+
1
=
y
n
+
1
−
y
n
+
1
∗
=
h
∑
i
=
1
s
(
b
i
−
b
i
∗
)
k
i
,
{\displaystyle e_{n+1}=y_{n+1}-y_{n+1}^{*}=h\sum _{i=1}^{s}(b_{i}-b_{i}^{*})k_{i},}
이 오차는
O
(
h
p
)
{\displaystyle O(h^{p})}
. 이런 종류의 방법의 Butcher 테이블은
b
i
∗
{\displaystyle b_{i}^{*}}
c
1
a
11
a
12
…
a
1
s
c
2
a
21
a
22
…
a
2
s
⋮
⋮
⋮
⋱
⋮
c
s
a
s
1
a
s
2
…
a
s
s
b
1
b
2
…
b
s
b
1
∗
b
2
∗
…
b
s
∗
{\displaystyle {\begin{array}{c|cccc}c_{1}&a_{11}&a_{12}&\dots &a_{1s}\\c_{2}&a_{21}&a_{22}&\dots &a_{2s}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\c_{s}&a_{s1}&a_{s2}&\dots &a_{ss}\\\hline &b_{1}&b_{2}&\dots &b_{s}\\&b_{1}^{*}&b_{2}^{*}&\dots &b_{s}^{*}\\\end{array}}}
호인-오일러
편집
가장 간단한 적응형 룽게-쿠타 방법은 이차인 호인의 방법과 일차인 오일러 방법을 결합한 것이다. 확장된 Butcher 테이블은 다음과 같다:
0
1
1
1
/
2
1
/
2
1
0
{\displaystyle {\begin{array}{c|cc}0&\\1&1\\\hline &1/2&1/2\\&1&0\end{array}}}
추정 오차는 단계크기를 조절하는데 사용된다.
펠베르크 RK1(2)
편집
펠베르크 방법 [1] 은 일차와 이차의 두 방법을 가진다. 확장된 Butcher 테이블은 다음과 같다:
0
1/2
1/2
1
1/256
255/256
1/256
255/256
0
1/512
255/256
1/512
b 계수의 첫 줄은 일차 정확한 해를 주고, 두 번째 줄은 이차이다.
보가키–샴폐인
편집
보가키-샴폐인 방법 은 이차와 삼차의 두 방법이다. 확장된 Butcher 테이블은 다음과 같다:
0
1/2
1/2
3/4
0
3/4
1
2/9
1/3
4/9
2/9
1/3
4/9
0
7/24
1/4
1/3
1/8
b 계수의 첫 줄은 삼차 정확한 해를 주고, 두 번째 줄은 이차이다.
펠베르크
편집
룽게-쿠타-펠베르크 방법 은 5차와 4차의 두 방법이다. 확장된 Butcher 테이블은 다음과 같다:
0
1/4
1/4
3/8
3/32
9/32
12/13
1932/2197
−7200/2197
7296/2197
1
439/216
−8
3680/513
−845/4104
1/2
-8/27
2
−3544/2565
1859/4104
−11/40
16/135
0
6656/12825
28561/56430
−9/50
2/55
25/216
0
1408/2565
2197/4104
−1/5
0
b 계수의 첫 줄은 5차 정확한 해를 주고, 두 번째 줄은 4차이다.
캐쉬-카프
편집
캐쉬와 카프는 펠버그의 원래 아이디어를 수정했다. 캐쉬-카프 방법 의 확장된 테이블은 다음과 같다:
0
1/5
1/5
3/10
3/40
9/40
3/5
3/10
−9/10
6/5
1
−11/54
5/2
−70/27
35/27
7/8
1631/55296
175/512
575/13824
44275/110592
253/4096
37/378
0
250/621
125/594
0
512/1771
2825/27648
0
18575/48384
13525/55296
277/14336
1/4
b 계수의 첫 줄은 5차 정확한 해를 주고, 두 번째 줄은 4차이다.
도르몬드–프린스
편집
도르몬드-프린스 방법 의 확장된 테이블은 다음과 같다
0
1/5
1/5
3/10
3/40
9/40
4/5
44/45
−56/15
32/9
8/9
19372/6561
−25360/2187
64448/6561
−212/729
1
9017/3168
−355/33
46732/5247
49/176
−5103/18656
1
35/384
0
500/1113
125/192
−2187/6784
11/84
35/384
0
500/1113
125/192
−2187/6784
11/84
0
5179/57600
0
7571/16695
393/640
−92097/339200
187/2100
1/40
b 계수의 첫 줄은 5차 정확한 해를 주고, 두 번째 줄은 4차이다.
암시적 방법
편집
역 오일러
편집
역 오일러 방법 은 일차이다. 선형 확장 문제에 대해서 조건적 안정하고 진동이 없다.
1
1
1
{\displaystyle {\begin{array}{c|c}1&1\\\hline &1\\\end{array}}}
암시적 중간점
편집
암시적 중간점 방법은 이차이다. 이것은 배열 방법 중 가우스 방법 이라는 그룹에서 가장 간단한 방법이다. 이는 사교 적분자 이다.
1
/
2
1
/
2
1
{\displaystyle {\begin{array}{c|c}1/2&1/2\\\hline &1\end{array}}}
가우스-르장드르 방법
편집
이 방법들은 가우스-르장드르 구적법에 기반하고 있다. 4차 가우스-르장드르 방법의 Butcher 테이블은 다음과 같다:
1
2
−
3
6
1
4
1
4
−
3
6
1
2
+
3
6
1
4
+
3
6
1
4
1
2
1
2
1
2
+
1
2
3
1
2
−
1
2
3
{\displaystyle {\begin{array}{c|cc}{\frac {1}{2}}-{\frac {\sqrt {3}}{6}}&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{4}}-{\frac {\sqrt {3}}{6}}\\{\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {3}}{6}}&{\frac {1}{4}}+{\frac {\sqrt {3}}{6}}&{\frac {1}{4}}\\\hline &{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\\&{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {3}}&{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}{\sqrt {3}}\\\end{array}}}
6차 가우스-르장드르 방법의 Butcher 테이블은 다음과 같다:
1
2
−
15
10
5
36
2
9
−
15
15
5
36
−
15
30
1
2
5
36
+
15
24
2
9
5
36
−
15
24
1
2
+
15
10
5
36
+
15
30
2
9
+
15
15
5
36
5
18
4
9
5
18
−
5
6
8
3
−
5
6
{\displaystyle {\begin{array}{c|ccc}{\frac {1}{2}}-{\frac {\sqrt {15}}{10}}&{\frac {5}{36}}&{\frac {2}{9}}-{\frac {\sqrt {15}}{15}}&{\frac {5}{36}}-{\frac {\sqrt {15}}{30}}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {5}{36}}+{\frac {\sqrt {15}}{24}}&{\frac {2}{9}}&{\frac {5}{36}}-{\frac {\sqrt {15}}{24}}\\{\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {15}}{10}}&{\frac {5}{36}}+{\frac {\sqrt {15}}{30}}&{\frac {2}{9}}+{\frac {\sqrt {15}}{15}}&{\frac {5}{36}}\\\hline &{\frac {5}{18}}&{\frac {4}{9}}&{\frac {5}{18}}\\&-{\frac {5}{6}}&{\frac {8}{3}}&-{\frac {5}{6}}\end{array}}}
로바토 방법
편집
로바토 방법의 주요 세 방법은 IIIA, IIIB 그리고 IIIC로 불린다(고전 수학 문헌에서 기호 I과 II는 라다우 방법의 주 종류에 예약되어 있었다). 이것들은 리후엘 로바토 (Rehuel Lobatto)의 이름을 따왔다. 모두 암시적 방법이고, 2s- 2차 방법이며, 모두 c 1 = 0이고 c s = 1이다. 다른 어떤 명시적 방법과는 달리, 이 방법들은 더 큰 단계도 가능하다. 로바토는 룽게와 쿠타가 고전적인 사차 방법을 만들기 전에 살았었다.
로바토 IIIA 방법
편집
로바토 IIIA 방법은 배열 방법 이다. 이차 방법은 사다리꼴 공식 으로 알려져있다:
0
0
0
1
1
/
2
1
/
2
1
/
2
1
/
2
1
0
{\displaystyle {\begin{array}{c|cc}0&0&0\\1&1/2&1/2\\\hline &1/2&1/2\\&1&0\\\end{array}}}
4차 방법은 다음과 같다
0
0
0
0
1
/
2
5
/
24
1
/
3
−
1
/
24
1
1
/
6
2
/
3
1
/
6
1
/
6
2
/
3
1
/
6
−
1
2
2
−
1
2
{\displaystyle {\begin{array}{c|ccc}0&0&0&0\\1/2&5/24&1/3&-1/24\\1&1/6&2/3&1/6\\\hline &1/6&2/3&1/6\\&-{\frac {1}{2}}&2&-{\frac {1}{2}}\\\end{array}}}
이 방법은 A-안정하지만 L-안정하거나 B-안정하지는 않다.
로바토 IIIB 방법
편집
로바토 IIIB 방법은 배열 방법이 아니지만 불연속적 배열 방법 으로 볼 수 있다. 이차 방법은 다음과 같다
0
1
/
2
0
1
1
/
2
0
1
/
2
1
/
2
1
0
{\displaystyle {\begin{array}{c|cc}0&1/2&0\\1&1/2&0\\\hline &1/2&1/2\\&1&0\\\end{array}}}
4차 방법은 다음과 같다
0
1
/
6
−
1
/
6
0
1
/
2
1
/
6
1
/
3
0
1
1
/
6
5
/
6
0
1
/
6
2
/
3
1
/
6
−
1
2
2
−
1
2
{\displaystyle {\begin{array}{c|ccc}0&1/6&-1/6&0\\1/2&1/6&1/3&0\\1&1/6&5/6&0\\\hline &1/6&2/3&1/6\\&-{\frac {1}{2}}&2&-{\frac {1}{2}}\\\end{array}}}
로바토 IIIB 방법은 A-안정적이지만 L-안정하거나 B-안정하지는 않다.
로바토 IIIC 방법
편집
로바토 IIIC 방법도 불연속적 배열 방법이다. 이차 방법은 다음과 같다
0
1
/
2
−
1
/
2
1
1
/
2
1
/
2
1
/
2
1
/
2
1
0
{\displaystyle {\begin{array}{c|cc}0&1/2&-1/2\\1&1/2&1/2\\\hline &1/2&1/2\\&1&0\\\end{array}}}
4차 방법은 다음과 같다
0
1
/
6
−
1
/
3
1
/
6
1
/
2
1
/
6
5
/
12
−
1
/
12
1
1
/
6
2
/
3
1
/
6
1
/
6
2
/
3
1
/
6
−
1
2
2
−
1
2
{\displaystyle {\begin{array}{c|ccc}0&1/6&-1/3&1/6\\1/2&1/6&5/12&-1/12\\1&1/6&2/3&1/6\\\hline &1/6&2/3&1/6\\&-{\frac {1}{2}}&2&-{\frac {1}{2}}\\\end{array}}}
이것은 L-안정하다. 이것들은 게다가 대수적으로 안정하고, 따라서 B-안정하기 때문에 딱딱한 방정식에 적합하다.
로바토 IIIC* 방법
편집
로바토 IIIC* 방법은 문헌에서 로바토 III 방법(Butcher, 2008), Butcher의 로바토 방법(Hairer et al, 1993), 그리고 로바토 IIIC 방법(Sun, 2000)이라고도 알려져 있다.[2] 아차 방법은 다음과 같다
0
0
0
1
1
0
1
/
2
1
/
2
{\displaystyle {\begin{array}{c|cc}0&0&0\\1&1&0\\\hline &1/2&1/2\\\end{array}}}
4차 방법은 다음과 같다
0
0
0
0
1
/
2
1
/
4
1
/
4
0
1
0
1
0
1
/
6
2
/
3
1
/
6
{\displaystyle {\begin{array}{c|ccc}0&0&0&0\\1/2&1/4&1/4&0\\1&0&1&0\\\hline &1/6&2/3&1/6\\\end{array}}}
이 방법은 A-안정하지도, B-안정하지도, L-안정하지도 않다.
s
=
2
{\displaystyle s=2}
.
일반화된 로바토 방법
편집
다음의 형태를 가지는 로바토 계수를 고려함으로써 세 실수 변수
(
α
A
,
α
B
,
α
C
)
{\displaystyle (\alpha _{A},\alpha _{B},\alpha _{C})}
a
i
,
j
(
α
A
,
α
B
,
α
C
)
=
α
A
a
i
,
j
A
+
α
B
a
i
,
j
B
+
α
C
a
i
,
j
C
+
α
C
∗
a
i
,
j
C
∗
{\displaystyle a_{i,j}(\alpha _{A},\alpha _{B},\alpha _{C})=\alpha _{A}a_{i,j}^{A}+\alpha _{B}a_{i,j}^{B}+\alpha _{C}a_{i,j}^{C}+\alpha _{C*}a_{i,j}^{C*}}
,
여기서,
α
C
∗
=
1
−
α
A
−
α
B
−
α
C
{\displaystyle \alpha _{C*}=1-\alpha _{A}-\alpha _{B}-\alpha _{C}}
.
예를 들면, (Nørsett and Wanner, 1981)에 소개되었고 로바토 IIINW라고도 불리는 로바토 IIID는 다음의 형태를 가진다
0
1
/
2
1
/
2
1
−
1
/
2
1
/
2
1
/
2
1
/
2
{\displaystyle {\begin{array}{c|cc}0&1/2&1/2\\1&-1/2&1/2\\\hline &1/2&1/2\\\end{array}}}
그리고
0
1
/
6
0
−
1
/
6
1
/
2
1
/
12
5
/
12
0
1
1
/
2
1
/
3
1
/
6
1
/
6
2
/
3
1
/
6
{\displaystyle {\begin{array}{c|ccc}0&1/6&0&-1/6\\1/2&1/12&5/12&0\\1&1/2&1/3&1/6\\\hline &1/6&2/3&1/6\\\end{array}}}
이 방법은
α
A
=
2
{\displaystyle \alpha _{A}=2}
,
α
B
=
2
{\displaystyle \alpha _{B}=2}
,
α
C
=
−
1
{\displaystyle \alpha _{C}=-1}
, 그리고
α
C
∗
=
−
2
{\displaystyle \alpha _{C*}=-2}
. 이 방법은 L-안정적이다. 또한 대수적으로 안정적이기 때문에 B-안정적이다.
라다우 방법
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라다우 방법은 완전히 암시적 방법이다(이런 방법의 행렬 A 는 어떤 구조도 가질 수 있다). 라다우 방법은 s 단계에 2s -1차이다. 라다우 방법은 A-안정적이지만 구현하는데 비용이 많이 든다. 게다가 차수의 감소로 어려움이 있을 수 있다.
일차 라다우 방법은 역 오일러 방법과 유사하다
라다우 IA 방법
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삼차 방법은 다음과 같다
0
1
/
4
−
1
/
4
2
/
3
1
/
4
5
/
12
1
/
4
3
/
4
{\displaystyle {\begin{array}{c|cc}0&1/4&-1/4\\2/3&1/4&5/12\\\hline &1/4&3/4\\\end{array}}}
5차 방법은 다음과 같다
0
1
9
−
1
−
6
18
−
1
+
6
18
3
5
−
6
10
1
9
11
45
+
7
6
360
11
45
−
43
6
360
3
5
+
6
10
1
9
11
45
+
43
6
360
11
45
−
7
6
360
1
9
4
9
+
6
36
4
9
−
6
36
{\displaystyle {\begin{array}{c|ccc}0&{\frac {1}{9}}&{\frac {-1-{\sqrt {6}}}{18}}&{\frac {-1+{\sqrt {6}}}{18}}\\{\frac {3}{5}}-{\frac {\sqrt {6}}{10}}&{\frac {1}{9}}&{\frac {11}{45}}+{\frac {7{\sqrt {6}}}{360}}&{\frac {11}{45}}-{\frac {43{\sqrt {6}}}{360}}\\{\frac {3}{5}}+{\frac {\sqrt {6}}{10}}&{\frac {1}{9}}&{\frac {11}{45}}+{\frac {43{\sqrt {6}}}{360}}&{\frac {11}{45}}-{\frac {7{\sqrt {6}}}{360}}\\\hline &{\frac {1}{9}}&{\frac {4}{9}}+{\frac {\sqrt {6}}{36}}&{\frac {4}{9}}-{\frac {\sqrt {6}}{36}}\\\end{array}}}
라다우 IIA 방법
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이 방법의 c i 는 다음의 근이다
P
s
(
2
x
−
1
)
−
P
s
−
1
(
2
x
−
1
)
=
0
,
{\displaystyle P_{s}(2x-1)-P_{s-1}(2x-1)=0,}
P
s
{\displaystyle P_{s}}
. 삼차 방법은 다음과 같다
1
/
3
5
/
12
−
1
/
12
1
3
/
4
1
/
4
3
/
4
1
/
4
{\displaystyle {\begin{array}{c|cc}1/3&5/12&-1/12\\1&3/4&1/4\\\hline &3/4&1/4\\\end{array}}}
5차 방법은 다음과 같다
2
5
−
6
10
11
45
−
7
6
360
37
225
−
169
6
1800
−
2
225
+
6
75
2
5
+
6
10
37
225
+
169
6
1800
11
45
+
7
6
360
−
2
225
−
6
75
1
4
9
−
6
36
4
9
+
6
36
1
9
4
9
−
6
36
4
9
+
6
36
1
9
{\displaystyle {\begin{array}{c|ccc}{\frac {2}{5}}-{\frac {\sqrt {6}}{10}}&{\frac {11}{45}}-{\frac {7{\sqrt {6}}}{360}}&{\frac {37}{225}}-{\frac {169{\sqrt {6}}}{1800}}&-{\frac {2}{225}}+{\frac {\sqrt {6}}{75}}\\{\frac {2}{5}}+{\frac {\sqrt {6}}{10}}&{\frac {37}{225}}+{\frac {169{\sqrt {6}}}{1800}}&{\frac {11}{45}}+{\frac {7{\sqrt {6}}}{360}}&-{\frac {2}{225}}-{\frac {\sqrt {6}}{75}}\\1&{\frac {4}{9}}-{\frac {\sqrt {6}}{36}}&{\frac {4}{9}}+{\frac {\sqrt {6}}{36}}&{\frac {1}{9}}\\\hline &{\frac {4}{9}}-{\frac {\sqrt {6}}{36}}&{\frac {4}{9}}+{\frac {\sqrt {6}}{36}}&{\frac {1}{9}}\\\end{array}}}
같이 보기
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Hairer, Ernst; Nørsett, Syvert Paul; Wanner, Gerhard (1993), 《Solving ordinary differential equations I: Nonstiff problems》, Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-56670-0 .
Hairer, Ernst; Wanner, Gerhard (1996), 《Solving ordinary differential equations II: Stiff and differential-algebraic problems》, Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-60452-5 .
Hairer, Ernst; Lubich, Christian; Wanner, Gerhard (2006), 《Geometric Numerical Integration: Structure-Preserving Algorithms for Ordinary Differential Equations》 2판, Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-30663-4 .