르레 스펙트럼 열

이론에서, 르레 스펙트럼 열(Leray spectrum列, 영어: Leray spectral sequence)은 층 코호몰로지를 그 직상의 층 코호몰로지로부터 계산하는 스펙트럼 열이다. 세르 스펙트럼 열(Serre spectrum列, 영어: Serre spectral sequence)은 세르 올뭉치에 대한, 층 코호몰로지가 단순히 특이 코호몰로지가 되는, 르레 스펙트럼 열의 특수한 경우이다.

정의편집

르레 스펙트럼 열(영어: Leray spectral sequence)은 다음과 같은 두 왼쪽 완전 함자에 대한 그로텐디크 스펙트럼 열이다.[1][2]

 

여기서  는 위상 공간 사이의 연속 함수  에 의하여 유도되는 의 직상이며,  는 층의 대역 단면 함자 (즉, 한원소 공간 위의 층 범주  로의 직상)이다. 층의 직상  완전 함자왼쪽 수반 함자인 층 역상

 
 

을 가지므로, 직상  단사층단사층에 대응시키며 따라서 그로텐디크 스펙트럼 열의 조건이 충족된다.

르레 스펙트럼 열은 구체적으로 다음과 같다.

 

여기서  층 코호몰로지이다. 이를 사용하여   위의 층 코호몰로지  위의 층 코호몰로지로서 계산할 수 있다.

세르 스펙트럼 열편집

르레 스펙트럼 열의 특수한 경우로,  가 올이  세르 올뭉치라고 하고,    위의, 아벨 군   값의 상수층이라고 하자. 또한, 다음 조건들이 성립한다고 하자.

  •  경로 연결 CW 복합체이다.
  • 기본군    위에 자명하게 작용한다.

그렇다면

 

가 된다. 즉,  는 올의 코호몰로지 값의 상수층이다. 따라서, 르레 스펙트럼 열은 다음과 같다.[3]:8, Theorem 1.3

 

여기서  특이 코호몰로지이다. 이를 세르 스펙트럼 열(영어: Serre spectral sequence)이라고 한다.

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고리 공간편집

양의 정수  이 주어졌다고 하자. 임의로 밑점이 부여된 초구  에 대하여, 경로 공간 올뭉치

 

를 생각하자. ( 인 경우, 0차원 초구경로 연결 공간이 아니므로 이는 올뭉치를 이루지 않는다.) 여기서  고리 공간이며,  는 밑점에서 시작하는 (그러나 임의의 점에서 끝날 수 있는) 경로들의 공간이다.

이 경우, 호몰로지 세르 스펙트럼 열은 다음과 같다.

 

 경로 연결 공간이므로,  일 경우

 

이다. 특히, 모든 쪽에서 0이 아닐 수 있는 유일한 열은    밖에 없다.

경로 공간은 (밑점에서의 상수 함수로) 축약 가능 공간이므로,

 

이다. 따라서, 둘째 쪽에 있는   성분이 어떤 쪽에서 상쇄되어야만 한다. 성분이 0이 아닌 열은   밖에 없으므로,  는 오직  번째 쪽에서만 상쇄될 수 있다.  번째 쪽에서

 

이므로,   과 상쇄되어야 한다. 즉,

 

이다. 따라서

 

이다.

그런데 이제   역시 어떤 쪽에서 상쇄되어야만 한다. 마찬가지로, 이 성분이 상쇄될 수 있는 유일한 쪽은  번째 쪽이며, 이는  과 상쇄되어야 한다. 따라서

 

이며

 

이다. 이 논리를 계속해서 반복하면 고리 공간의 호몰로지를 다음과 같이 계산할 수 있다.

 

귀진 완전열편집

올이 초구세르 올뭉치

 

가 주어졌을 때, 그 세르 스펙트럼 열  은 오직  인 행에서만 성분을 가지며, 따라서 이는  번째 쪽에서 퇴화한다. 이를 통해  코호몰로지 의 코호몰로지를 잇는 긴 완전열을 적을 수 있는데, 이를 귀진 완전열이라고 한다.

역사편집

1946년에 장 르레스펙트럼 열의 최초의 예로 층 코호몰로지를 계산하는 르레 스펙트럼 열을 도입하였다.[1][2] 1951년에 장피에르 세르는 르레 스펙트럼 열 가운데, 층 코호몰로지특이 코호몰로지가 되는 특수한 경우인 세르 스펙트럼 열에 대하여 연구하였다.[4]

참고 문헌편집

  1. Leray, Jean (1946). “L’anneau d’homologie d’une représentation”. 《Les Comptes rendus de l'Académie des science》 (프랑스어) 222: 1366–1368. Zbl 0060.40801. 
  2. Leray, Jean (1946). “Structure de l’anneau d’homologie d’une représentation”. 《Les Comptes rendus de l'Académie des science》 (프랑스어) 222: 1419–1422. Zbl 0060.40802. 
  3. Hatcher, A. 《Spectral Sequences in Algebraic Topology》 (영어). 
  4. Serre, Jean-Pierre (1951년 11월). “Homologie singulière des espaces fibrés”. 《Annals of Mathematics》 (프랑스어) 54 (3): 425–505. doi:10.2307/1969485. JSTOR 1969485. 

외부 링크편집