르베그 측도

측도론에서 르베그 측도(영어: Lebesgue measure)는 유클리드 공간의 부분 집합에 길이, 넓이 또는 부피를 할당하는 방법이다. 이를 사용하여 르베그 적분을 정의할 수 있다.

정의

르베그 측도는 유클리드 공간 $\mathbb {R} ^{n}$ 위에 정의되는 측도이며, 보렐 측도의 완비화이다.

구체적으로, 이는 다음과 같다. $\mathbb {R} ^{n}$ 위의 르베그 측도는 $\mathbb {R}$ 위의 르베그 측도의 곱측도로 정의할 수 있으므로, $\mathbb {R}$ 위의 측도를 정의하는 것으로 족하다. $\mathbb {R}$ 위의 르베그 외측도 $\lambda ^{*}\colon {\mathcal {P}}(\mathbb {R} )\to [0,\infty ]$는 다음과 같다.

$\lambda ^{*}(S)=\inf \left\{\sum _{i=1}^{\infty }|b_{i}-a_{i}|\colon a_{i},b_{i}\in \mathbb {R} ,\;S\subset \bigcup _{i=1}^{\infty }[a_{i},b_{i}]\right\}$

르베그 가측 집합은 다음 성질을 만족시키는 집합 $S\subset \mathbb {R}$이다.

• 모든 $T\subset \mathbb {R}$에 대하여, $\lambda ^{*}(T)=\lambda ^{*}(T\cap S)+\lambda ^{*}(T\setminus S)$

르베그 가측 집합의 집합 ${\mathcal {L}}$은 시그마 대수를 이룸을 보일 수 있다. $\mathbb {R}$ 위의 르베그 측도 $\lambda =\lambda ^{*}|_{\mathcal {L}}$는 르베그 가측집합에 국한시킨 르베그 외측도이며, $(\mathbb {R} ,{\mathcal {L}},\lambda )$는 측도 공간을 이룸을 보일 수 있다.

성질

$k$차원 유클리드 공간에 대해, 르베그 측도 $\lambda$는 다음의 성질을 만족한다.

• 모든 보렐 집합은 르베그 가측 집합이다.
• 르베그 측도는 완비 측도이다. 즉, 어떤 집합이 르베그 가측 집합이며 측도가 0이면, 그 부분집합 또한 가측 집합이다.
• (이동 불변성 영어: translation invariance) 임의의 르베그 가측 집합 $A\subset \mathbb {R}$와 벡터 $b\in \mathbb {R} ^{k}$에 대해, $A+b=\{a+b\colon a\in A\}$ 역시 가측 집합이며 $E$와 같은 측도를 갖는다.

르베그 가측 집합

비탈리 정리에 따르면 선택 공리를 가정할 경우 모든 집합의 르베그 측도를 할당하는 것은 불가능하다. 르베그 측정이 불가능한 집합은 바나흐-타르스키 역설 등의 결과를 가져온다. 비탈리 집합은 르베그 측정이 불가능한 집합의 한 예이다. 반면, 결정 공리를 사용할 경우에는 실수의 부분집합은 모두 측정가능하다는 것을 증명할 수 있다.

선택 공리를 가정하자. 유클리드 공간의 르베그 가측 집합의 수는 $\beth _{2}=2^{2^{\aleph _{0}}}$이지만, 보렐 집합의 수는 $\beth _{1}=2^{\aleph _{0}}$이다. 즉, 거의 모든 르베그 가측 집합은 보렐 집합이 아니다.

모든 르베그 가측 집합 $L$은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

$L=G\setminus N=F\cup N'$

여기서

• $N$ 및 $N'$은 르베그 영집합이다.
• $G$는 G_δ 집합이다 (따라서 보렐 집합이다).
• $F$는 F_σ 집합이다 (따라서 보렐 집합이다).

예

선분, 사각형 등의 도형에 대한 르베그 측도는 길이나 넓이 등의 개념과 일치한다. 예를 들어, 구간 $(0,1)$의 측도는 길이와 같은 1이다.

칸토어 집합은 크기가 $2^{\aleph _{0}}$이지만 르베그 측도가 0이다.

외부 링크

• “Lebesgue measure”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Lebesgue measure”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Lebesgue measure”. 《nLab》 (영어).