미분기하학 에서, 리 준군 (Lie準群, 영어 : Lie groupoid )은 대상과 사상의 공간이 각각 매끄러운 다양체 를 이루는 준군 이다. (이산) 준군과 리 군 의 공통적인 일반화이다.
리 준군 은 매끄러운 다양체 의 범주 속의 준군 대상이다. 즉, 구체적으로 다음과 같은 데이터로 주어진다.
매끄러운 다양체
X
0
{\displaystyle X_{0}}
X
1
{\displaystyle X_{1}}
매끄러운 함수
dom
:
X
1
→
X
0
{\displaystyle \operatorname {dom} \colon X_{1}\to X_{0}}
codom
:
X
1
→
X
0
{\displaystyle \operatorname {codom} \colon X_{1}\to X_{0}}
정의역 과 공역 을 나타낸다.사상의 합성
{
(
f
,
g
)
∈
X
1
×
X
1
:
codom
f
=
dom
g
}
→
X
1
{\displaystyle \{(f,g)\in X_{1}\times X_{1}\colon \operatorname {codom} f=\operatorname {dom} g\}\to X_{1}}
매끄러운 함수
id
:
X
0
→
X
1
{\displaystyle \operatorname {id} \colon X_{0}\to X_{1}}
항등 사상 을 나타낸다. 이 데이터는 준군의 공리들을 만족시켜야 한다.
마찬가지로, 리 2-준군 (영어 : Lie 2-groupoid ), 리 3-준군 (영어 : Lie 3-groupoid ) 등등을 정의할 수 있다. 예를 들어, 리 2-준군은 2-범주 가운데, 모든 1-사상과 2-사상이 가역원을 가지며, 또한 0-사상, 1-사상, 2-사상들이 각각 매끄러운 다양체
X
0
{\displaystyle X_{0}}
X
1
{\displaystyle X_{1}}
X
2
{\displaystyle X_{2}}
매끄러운 함수 가 되는 경우이다.
분류 공간
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리 군
G
{\displaystyle G}
G
{\displaystyle G}
B
(
G
)
{\displaystyle \operatorname {B} (G)}
슈발레-에일렌베르크 대수 를 설리번 대수 로 여기면, 이에 대응하는 위상 공간 은
G
{\displaystyle G}
분류 공간 이다.)
만약
G
{\displaystyle G}
아벨 리 군일 때는, 마찬가지로
B
2
(
G
)
=
B
(
B
(
G
)
)
{\displaystyle \operatorname {B} ^{2}(G)=\operatorname {B} (\operatorname {B} (G))}
B
3
(
G
)
=
B
(
B
(
B
(
G
)
)
)
{\displaystyle \operatorname {B} ^{3}(G)=\operatorname {B} (\operatorname {B} (\operatorname {B} (G)))}
B
k
(
G
)
{\displaystyle \operatorname {B} ^{k}(G)}
k
−
2
{\displaystyle k-2}
(
k
−
1
)
{\displaystyle (k-1)}
매끄러운 다양체 는
G
{\displaystyle G}
만약
G
{\displaystyle G}
아벨 군 이 아니라면, 고차에서의 구성에서, 수평 합성이 수직 합성과 아래와 같이 가환해야 한다는 조건이 성립하지 못한다.
=
=
∘
0
{\displaystyle \circ _{0}}
∘
1
{\displaystyle \circ _{1}}
체흐 준군
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매끄러운 다양체
X
{\displaystyle X}
열린 덮개
U
=
(
U
i
)
i
∈
I
{\displaystyle {\mathcal {U}}=(U_{i})_{i\in I}}
U
{\displaystyle {\mathcal {U}}}
체흐 준군 (영어 : Čech groupoid )
C
ˇ
(
U
)
{\displaystyle \operatorname {\check {C}} ({\mathcal {U}})}
C
ˇ
(
U
)
{\displaystyle \operatorname {\check {C}} ({\mathcal {U}})}
매끄러운 다양체 는
⨆
i
∈
I
U
i
{\displaystyle \textstyle \bigsqcup _{i\in I}U_{i}}
x
∈
U
i
{\displaystyle x\in U_{i}}
순서쌍
(
x
,
U
i
)
{\displaystyle (x,U_{i})}
C
ˇ
(
U
)
{\displaystyle \operatorname {\check {C}} ({\mathcal {U}})}
⨆
i
,
j
∈
I
U
i
∩
U
j
{\displaystyle \textstyle \bigsqcup _{i,j\in I}U_{i}\cap U_{j}}
(
x
,
U
i
)
→
(
x
,
U
j
)
{\displaystyle (x,U_{i})\to (x,U_{j})}
(
x
,
U
i
,
U
j
)
{\displaystyle (x,U_{i},U_{j})}
두 사상의 합성은 단순히
(
x
,
U
j
,
U
k
)
∘
(
x
,
U
i
,
U
j
)
=
(
x
,
U
i
,
U
k
)
{\displaystyle (x,U_{j},U_{k})\circ (x,U_{i},U_{j})=(x,U_{i},U_{k})}
항등 사상 은 단순히
(
x
,
U
i
,
U
i
)
{\displaystyle (x,U_{i},U_{i})}
그렇다면, 다음과 같은 함자 가 존재한다.
C
ˇ
(
U
)
→
X
{\displaystyle \operatorname {\check {C}} ({\mathcal {U}})\to X}
(
x
,
U
i
)
↦
x
{\displaystyle (x,U_{i})\mapsto x}
(
x
,
U
i
,
U
j
)
↦
id
x
{\displaystyle (x,U_{i},U_{j})\mapsto \operatorname {id} _{x}}
(이 함자의 공역 은 모든 사상이 항등 사상 인 자명한 리 준군이다.)
보다 일반적으로, 임의의 양의 정수
n
{\displaystyle n}
n
{\displaystyle n}
k
{\displaystyle k}
⨆
i
1
,
…
,
i
k
∈
I
U
i
1
∩
⋯
∩
U
i
k
{\displaystyle \bigsqcup _{i_{1},\dotsc ,i_{k}\in I}U_{i_{1}}\cap \dotsb \cap U_{i_{k}}}
이다.
순서쌍 리 군
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임의의 매끄러운 다양체
M
{\displaystyle M}
순서쌍 리 준군 (영어 : pair Lie groupoid )을 정의할 수 있다.
그 대상(0-사상)의 매끄러운 다양체는
M
{\displaystyle M}
1-사상의 매끄러운 다양체는
M
×
M
{\displaystyle M\times M}
1-사상
(
x
,
y
)
{\displaystyle (x,y)}
(
y
,
z
)
{\displaystyle (y,z)}
(
x
,
z
)
{\displaystyle (x,z)}
이에 대응하는 리 준대수 는
M
{\displaystyle M}
벡터장 들의 리 준대수
T
M
{\displaystyle \mathrm {T} M}
참고 문헌
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외부 링크
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