마방진

가로, 세로, 대각선의 수 합이 같은 행렬

마방진(魔方陣, 영어: magic square) 또는 방진(方陣)은 n2개의 수를 가로, 세로, 대각선 방향의 수를 더하면 모두 같은 값(마방진 상수)이 나오도록 n × n 행렬에 배열한 것이다. 마법진(魔法陣) 중 하나이다. 일반적인 마방진(pure/normal magic square)의 각 칸에는 1부터 n2까지의 수가 한 개씩 들어간다.[1][2] 마방진은 n이 2일 때를 제외하고 항상 존재한다.[3]

3×3 마방진

역사편집

 
최초의 마방진으로 여겨지는 낙서

중국 하나라우 임금 시절 (약 4000년 전) 우왕은 매년 범람하는 황하의 물길을 정비할 때 이상한 그림이 새겨진 거북의 등 껍데기를 발견했다. 1부터 9까지의 숫자가 배열된 3차 마방진이었고, 가로, 세로, 대각선의 어느 방향으로 더해도 그 합(마방진 합)이 15였다. 이를 낙서라고 한다.[4][5]

天與禹洛出書,神龜負文而出,列於背,有數至於九。禹遂因而第之,以成九類,常道所以次敘。

특성편집

마방진 상수편집

마방진에서 가로줄, 세로줄, 그리고 두 대각선의 합은 같은데, 이를 마방진 상수라고 한다. 1부터 n2까지의 수가 한 개씩 들어가는 '일반적인'(normal) 마방진에서 모든 수의 합은  이다. (   삼각수) n개의 가로/세로줄이 있으니 n으로 나누면 마방진 상수는 다음과 같다.[2]

 

자명한 1차 마방진편집

1차 마방진(1×1 마방진)은 수가 '1' 한 개밖에 없다. 따라서 자명하다.

불가능한 2차 마방진편집

일반적인 마방진은 2차 마방진 외에는 모두 가능하다.[3][6]

분류편집

 
4×4 마방진의 종류를 벤 다이어그램으로 표시한 것이다. 같은 색으로 표시된 부분에서 합이 마법 상수로 같다.

n×n 마방진은 어떤 수들의 합이 마법 상수로 같은지에 따라 다음과 같이 분류될 수 있다.

  • 준마방진(semi-magic square)은 가로줄과 세로줄만의 합이 마방진 상수로 같다.
  • 단순 마방진(simple magic square)은 가로줄, 세로줄, 그리고 두 대각선의 합이 마방진 상수로 같다. 일반적인 마방진(ordinary magic square) 또는 평범한 마방진(normal magic square)이라고도 불리고, 일반적으로 마방진은 단순 마방진을 말한다.
  • 범마방진(汎魔方陣, pandiagonal magic square) 또는 범대각선 마방진(汎對角線 魔方陣)은 범대각선(깨진 대각선)의 합도 마방진 상수로 같은 마방진을 말한다.
  • 가장 완벽한 마방진(most-perfect magic squrare)은 두 조건을 만족하는 범마방진이다.

마방진 만들기편집

몇천 년 동안, 마방진을 만드는 다양한 방법이 발견되었다.

홀수 차수의 마방진편집

홀수 차수의 마방진을 만드는 방법은 프랑스 외교관 '시몬 드 라 루베르'(Simon de la Loubère)가 그의 저서 《시암 왕국의 역사적 관계(Du Royaume de Siam, 1693)》의 〈원주민들에 따른 마방진 문제(The problem of the magical square according to the Indians)〉에 나와 있다.[7] 그 방법은 다음과 같다.

첫 번째 행의 가운데 칸에 1을 넣는다. 그 다음 자연수를 대각선 방향으로 오른쪽 위 칸에 넣는 것을 모든 칸이 채워질 때까지 반복한다. 이때 해당하는 칸이 마방진의 위쪽으로 벗어난 경우에는 반대로 가장 아래쪽의 칸으로, 마방진의 오른쪽으로 벗어나는 경우는 가장 왼쪽의 칸으로 각자 한번 더 이동한다. 또 이때 칸을 채울 자리에 이미 숫자가 있다면 아래에 수를 넣는다.

맨 윗 줄에 가운데 칸이 아닌 칸에서 시작해도 가능하지만, 가로줄과 세로줄은 마법 상수으로 나오고 대각선의 합은 다르다. 따라서 준마방진(semimagic square)이 만들어지고, 진짜 마방진은 나올 수 없다. 또 대각선 오른쪽 위 방향이 아닌 방향으로 자연수를 계속 써도 마방진이 나올 수 있다.

4차 마방진편집

위와 같이 4칸씩 나누어 흑색 칸과 백색 칸으로 칠한 뒤에, 한 색 칸의 수들을 180도 뒤집어 옮기면 마방진이 된다.

변형편집

2차원편집

다차원편집

같이 보기편집

각주편집

  1. Heinz, Harvey. “Magic Squares index page”. 《www.magic-squares.net》. 
  2. “Magic Square”. 《매스월드》. 
  3. “How to show there is no magic cube of order 2?”. 《math.stackexchange.com》. 
  4. “[역사속 수학이야기](9) 마방진 이야기”. 《경향신문》. 
  5. “[장선영의 수학이야기(17)]오일러를 앞선, 영의정 최석정”. 《경상일보》. 
  6. “Why there are no 2x2 magic squares”. 《mathforum.org》. 
  7. Mathematical Circles Squared By Phillip E. Johnson, Howard Whitley Eves, p. 22

외부 링크편집