매시 곱

대수적 위상수학에서, 매시 곱(영어: Massey product)은 코호몰로지 곱을 일반화하는 다항 연산이다. 이를 통하여, 코호몰로지의 구조만으로는 알 수 없는 위상수학적 불변량을 계산할 수 있다.

정의편집

미분 등급 대수  코호몰로지  의 원소  에 대하여,

 

로 정의하자. 코호몰로지   위의  항 매시 곱

 

 개의 코호몰로지류를 코호몰로지류들의 집합으로 대응시키는 함수이며, 다음과 같다.

 

이 등식에서

 

이며, 따라서

 

이다.

불확정성편집

일반적으로, 매시 곱은 공집합이거나 두 개 이상의 원소를 가질 수 있는 집합이다. 3차 매시 곱의 두 원소의 차는 다음과 같은 아이디얼에 속한다.

 
 

즉, 매시 곱을 다음과 같은 몫군 속의 값으로 정의한다면, 매시 곱은 유일하다.

 
 

보다 일반적으로,  차 매시 곱은 다음과 같은 몫군 속에서 정의된다.

 
 

여기서

 

이다.

낮은 차수의 매시 곱편집

0항 및 1항 매시 곱은 항상  이다. 2항 매시 곱은 코호몰로지 곱

 

이다.

3항 매시 곱은 최초로 자명하지 않은 매시 곱이며, 다음과 같다. 만약

 
 
 

라면,

 

이다.

4항 매시 곱은 다음과 같다.

 
 
 
 
 
 
 
 

응용편집

 
매시 곱을 사용하여, 보로메오 고리가 얽혀 있다는 것을 알 수 있다.

매시 곱은 코호몰로지의 곱 연산만으로 알 수 없는 위상수학적 불변량들을 측정한다. 예를 들어, 연환의 일종인 보로메오 고리(영어: Borromean rings)는 그 여공간의 코호몰로지의 곱만으로는 세 개의 고리가 분리될 수 없다는 것을 알지 못하지만, 각 고리에 대응하는 코호몰로지 원소의 3중 매시 곱이 0이 아니므로 세 개의 고리가 얽혀 있다는 사실을 알 수 있다.

역사편집

윌리엄 슈마허 매시(영어: William Schumacher Massey)가 1958년에 도입하였다.[1]

참고 문헌편집

  1. Massey, William S. (1958). 〈Some higher order cohomology operations〉. 《Symposium internacional de topología algebraica》 (영어). Ciudad de México: Universidad Nacional Autónoma de México. 145–154쪽. MR 0098366. Zbl 0123.16103. 

외부 링크편집