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하세 도표로 표현한 의 멱집합 원소들

집합론에서, 멱집합(冪集合, 영어: power set)은 주어진 집합의 모든 부분 집합들로 구성된 집합이다.

정의편집

집합  멱집합   또는   의 모든 부분 집합들로 구성된 집합이다. 즉, 이는 다음과 같다.

 

성질편집

집합론적 성질편집

집합  의 멱집합  크기

 

이다. 여기서   의 크기를 나타내며,  기수의 거듭제곱을 나타낸다. 만약  유한 집합일 경우,  는 ( 의 원소 개수를 나타내는) 자연수이며, 기수의 거듭제곱 연산은 자연수의 거듭제곱 연산과 일치한다. 특히, 유한 집합의 멱집합은 유한 집합이다.

집합  의 멱집합  의 크기는 항상 원래 집합  의 크기보다 크다. 즉,

 

이다. 이를 칸토어의 정리라고 한다. 특히, 무한 집합의 멱집합은 항상 비가산 집합이다. 선택 공리를 가정할 경우, 임의의 주어진 기수  에 대하여, 그보다 큰 최소의 기수  를 찾을 수 있으며, 이 경우 위 칸토어의 정리는 다음과 같이 쓸 수 있다.

 

만약  가산 무한 집합일 경우 (즉,  일 경우), 위 부등식을 등식으로 바꿔 얻는 명제를 연속체 가설이라고 한다. 이는 선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론과 독립적이다. 즉, (만약 선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론이 무모순적 이론일 경우,) 연속체 가설과 그 부정은 모두 이 이론에서 증명될 수 없으며, 이 이론은 연속체 가설을 만족시키는 모형과 그렇지 않은 모형을 동시에 갖는다.

순서론적 성질편집

집합  멱집합  부분 집합 관계  에 대하여 완비 불 대수  를 이룬다. 최소 원소공집합  , 최대 원소는 원래의 집합  , 이음은 합집합  , 만남은 교집합  이다. 또한, 각  상한은 합집합

 

으로 주어지며, 하한은 교집합

 

으로 주어진다.

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공집합의 멱집합은 공집합이다.

 

한원소 집합  은 공집합과 자기 자신을 부분 집합으로 하므로 그 멱집합은

 

이다.

두원소 집합  의 부분 집합들은 정확히 다음과 같다.

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따라서 그 멱집합은

 

이다.

세원소 집합  의 부분 집합들은 정확히 다음과 같다.

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따라서 그 멱집합은

 

이다.

같이 보기편집

외부 링크편집