집합론에서 멱집합(冪集合, 영어: power set)은 주어진 집합의 모든 부분 집합들로 구성된 집합이다.

하세 도형으로 표현한 의 멱집합

정의

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집합  멱집합   또는   의 모든 부분 집합들로 구성된 집합이다. 즉, 이는 다음과 같다.

 

선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론(ZFC)의 멱집합 공리(영어: axiom of power set)는 다음과 같은 명제이다.

  • 임의의 집합  에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 집합  가 존재한다.
    • 임의의 집합  에 대하여, 만약 (임의의  에 대하여  )라면,  이다.

이는 ZFC의 공리이며, 특히 참이다. 멱집합 공리 및 다른 ZFC 공리들로부터, 임의의 집합  의 멱집합의 존재를 다음과 같이 증명할 수 있다. 위 조건을 만족시키는 집합  를 잡자. 그렇다면, 분류 공리꼴에 따라, 다음과 같은 집합을 정의할 수 있다.

 

또한,  의 선택에 따라,   의 멱집합을 이룬다. 확장 공리에 따라, 임의의 집합의 멱집합은 유일하다.

성질

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크기

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집합  의 멱집합  크기

 

이다. 여기서   의 크기를 나타내며,  기수의 거듭제곱을 나타낸다. 만약  유한 집합일 경우,  는 ( 의 원소 개수를 나타내는) 자연수이며, 기수의 거듭제곱 연산은 자연수의 거듭제곱 연산과 일치한다. 특히, 유한 집합의 멱집합은 유한 집합이다.

다음과 같은 부등식이 성립한다.

 

여기서   보다 큰 최소의 기수이다 (선택 공리를 가정하면 이는 항상 존재한다). 이를 칸토어 정리라고 한다. 이에 따라, 멱집합  의 크기는 항상 원래 집합  의 크기보다 크다. 특히,  가산 무한 집합인 경우  이다. 명제  연속체 가설이라고 부른다. 연속체 가설과 그 부정 모두 ZFC에서 증명할 수 없다.

순서론적 성질

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집합  의 멱집합은 부분 집합 관계에 대하여 완비 불 대수  를 이룬다. 최소 원소공집합  , 최대 원소는 원래의 집합  , 이음은 합집합  , 만남은 교집합  이다. 또한, 임의의 부분 집합  상한은 합집합

 

으로 주어지며, 하한은 교집합

 

으로 주어진다 ( ).

함자성

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멱집합과 집합범주   위의 함자

 
 
 

를 이룬다. 멱집합과 원상함자

 
 
 

를 이룬다.

공집합의 멱집합은 공집합을 원소로 가지는 한원소 집합이다.

 

한원소 집합  은 공집합과 자기 자신을 부분 집합으로 하므로 그 멱집합은

 

이다.

두원소 집합  의 부분 집합들은 정확히 다음과 같다.

  •  
  •  
  •  
  •  

따라서 그 멱집합은

 

이다.

세원소 집합  의 부분 집합들은 정확히 다음과 같다.

  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  

따라서 그 멱집합은

 

이다.

같이 보기

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외부 링크

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