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하세 도표로 표현한 의 멱집합 원소들

집합론에서, 어떤 집합멱집합(冪集合, 영어: power set)은 그 집합의 모든 부분 집합을 모은 집합이다. 공리적 집합론에서 멱집합의 존재성은 멱집합 공리에 따라 보장된다.

목차

정의편집

집합  멱집합   의 모든 부분 집합의 집합이다.

 

집합  의 멱집합은

 ,  ,  

등을 사용하여 표기한다.

성질편집

멱집합  는 자명하게 공집합과 원래 집합을 원소로 포함한다.

 
 

또한, 멱집합은

을 갖춘다.

집합의 크기편집

유한 집합  의 멱집합은 유한 집합이며, 그 크기는

 

이다.

무한 집합의 멱집합은 비가산 집합이며, 그 크기는

 

이다.

두 등식 우변의  기수의 거듭 제곱이며, 다음과 같은 집합의 크기를 뜻한다.

 

멱집합과 위 집합 사이에는 다음과 같은 자연스러운 일대일 대응이 존재한다.

 
 

칸토어의 정리편집

멱집합의 크기는 원래 집합의 크기보다 크다.

 

달리 말해,

 

이다. 여기서   바로 뒤 기수이다. 일반화 연속체 가설이 성립한다면, 위의 부등식  은 등식이 된다.

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세원소 집합  의 경우,  의 모든 부분집합은 다음과 같다.

  •   (공집합)
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  

따라서,  의 멱집합은 이들을 모두 모은

 

가 된다.

같이 보기편집

외부 링크편집