모노이드 범주
(
C
,
⊗
,
I
,
α
,
λ
,
ρ
)
{\displaystyle ({\mathcal {C}},\otimes ,I,\alpha ,\lambda ,\rho )}
는 다음과 같은 데이터로 구성된다.
범주
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
함자
⊗
:
C
×
C
→
C
{\displaystyle \otimes \colon {\mathcal {C}}\times {\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}}
대상
I
∈
C
{\displaystyle I\in {\mathcal {C}}}
. 이를 항등원 (恒等元, 영어 : identity element )이라고 한다.
함자
(
−
⊗
−
)
⊗
−
:
C
×
C
×
C
→
C
{\displaystyle (-\otimes -)\otimes -\colon {\mathcal {C}}\times {\mathcal {C}}\times {\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}}
,
−
⊗
(
−
⊗
−
)
:
C
×
C
×
C
→
C
{\displaystyle -\otimes (-\otimes -)\colon {\mathcal {C}}\times {\mathcal {C}}\times {\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}}
사이의 자연 동형
α
:
(
−
⊗
−
)
⊗
−
⇒
−
⊗
(
−
⊗
−
)
{\displaystyle \alpha \colon (-\otimes -)\otimes -\Rightarrow -\otimes (-\otimes -)}
. 그 성분을
α
X
Y
Z
:
(
X
⊗
Y
)
⊗
Z
→
X
⊗
(
Y
⊗
Z
)
{\displaystyle \alpha _{XYZ}\colon (X\otimes Y)\otimes Z\to X\otimes (Y\otimes Z)}
로 쓰자. 이를 결합자 (結合子, 영어 : associator )라고 한다.
함자
I
⊗
:
C
→
C
{\displaystyle I\otimes \colon {\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}}
,
Id
C
:
C
→
C
{\displaystyle \operatorname {Id} _{\mathcal {C}}\colon {\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}}
사이의 자연 동형
λ
:
I
⊗
⇒
Id
C
{\displaystyle \lambda \colon I\otimes \Rightarrow \operatorname {Id} _{\mathcal {C}}}
. 그 성분을
λ
X
:
I
⊗
X
→
X
{\displaystyle \lambda _{X}\colon I\otimes X\to X}
로 쓰자. 이를 왼쪽 항등자 (왼쪽恒等子, 영어 : left unitor )라고 한다.
함자
⊗
I
:
C
→
C
{\displaystyle \otimes I\colon {\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}}
,
Id
C
:
C
→
C
{\displaystyle \operatorname {Id} _{\mathcal {C}}\colon {\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}}
사이의 자연 동형
ρ
:
⊗
I
⇒
Id
C
{\displaystyle \rho \colon \otimes I\Rightarrow \operatorname {Id} _{\mathcal {C}}}
. 그 성분을
ρ
X
:
X
⊗
I
→
X
{\displaystyle \rho _{X}\colon X\otimes I\to X}
로 쓰자. 이를 오른쪽 항등자 (오른쪽恒等子, 영어 : right unitor )라고 한다.
이 데이터는 다음 조건들을 만족시켜야 한다.
(결합자의 일관성) 임의의 대상
X
,
Y
,
Z
,
W
∈
C
{\displaystyle X,Y,Z,W\in {\mathcal {C}}}
에 대하여,
α
X
,
Y
,
Z
⊗
W
∘
α
X
⊗
Y
,
Z
,
W
=
id
X
⊗
α
Y
,
Z
,
W
∘
α
X
,
Y
⊗
Z
,
W
∘
α
X
,
Y
,
Z
⊗
id
W
{\displaystyle \alpha _{X,Y,Z\otimes W}\circ \alpha _{X\otimes Y,Z,W}=\operatorname {id} _{X}\otimes \alpha _{Y,Z,W}\circ \alpha _{X,Y\otimes Z,W}\circ \alpha _{X,Y,Z}\otimes \operatorname {id} _{W}}
. 즉, 다음 그림은 가환 그림이다.
(
(
X
⊗
Y
)
⊗
Z
)
⊗
W
→
α
(
X
⊗
(
Y
⊗
Z
)
)
⊗
W
→
α
X
⊗
(
(
Y
⊗
Z
)
⊗
W
)
α
↘
↓
α
(
X
⊗
Y
)
⊗
(
Z
⊗
W
)
→
α
X
⊗
(
Y
⊗
(
Z
⊗
W
)
)
{\displaystyle {\begin{matrix}((X\otimes Y)\otimes Z)\otimes W&{\xrightarrow {\alpha }}&(X\otimes (Y\otimes Z))\otimes W&{\xrightarrow {\alpha }}&X\otimes ((Y\otimes Z)\otimes W)\\&{\scriptstyle \alpha }\searrow &&&\downarrow \scriptstyle \alpha \\&&(X\otimes Y)\otimes (Z\otimes W)&{\xrightarrow[{\alpha }]{}}&X\otimes (Y\otimes (Z\otimes W))\end{matrix}}}
(항등원의 일관성) 임의의 대상
X
,
Y
∈
C
{\displaystyle X,Y\in {\mathcal {C}}}
에 대하여,
α
X
,
I
,
Y
∘
id
X
⊗
λ
Y
=
ρ
X
⊗
id
Y
{\displaystyle \alpha _{X,I,Y}\circ \operatorname {id} _{X}\otimes \lambda _{Y}=\rho _{X}\otimes \operatorname {id} _{Y}}
. 즉, 다음 그림은 가환 그림이다.
(
X
⊗
I
)
⊗
Y
→
α
X
⊗
(
I
⊗
Y
)
ρ
↘
↓
λ
X
⊗
Y
{\displaystyle {\begin{matrix}(X\otimes I)\otimes Y&{\xrightarrow {\alpha }}&X\otimes (I\otimes Y)\\&{\scriptstyle \rho }\searrow &\downarrow \scriptstyle \lambda \\&&X\otimes Y\end{matrix}}}
두 모노이드 범주
(
C
,
⊗
,
I
,
α
,
λ
,
ρ
)
{\displaystyle ({\mathcal {C}},\otimes ,I,\alpha ,\lambda ,\rho )}
와
(
C
′
,
⊗
′
,
I
′
,
α
′
,
λ
′
,
ρ
′
)
{\displaystyle ({\mathcal {C}}',\otimes ',I',\alpha ',\lambda ',\rho ')}
사이의 (강한) 모노이드 함자 (monoid函子, 영어 : (strong) monoidal functor )
(
F
,
ξ
,
ξ
0
)
{\displaystyle (F,\xi ,\xi _{0})}
은 다음과 같은 데이터로 구성된다.
함자
F
:
C
→
C
′
{\displaystyle F\colon {\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}'}
자연 동형
ξ
:
F
(
−
)
⊗
′
F
(
−
)
→
F
(
−
⊗
−
)
{\displaystyle \xi \colon F(-)\otimes 'F(-)\to F(-\otimes -)}
. 그 성분을
ξ
X
,
Y
:
F
(
X
)
⊗
′
F
(
Y
)
→
F
(
X
⊗
Y
)
{\displaystyle \xi _{X,Y}\colon F(X)\otimes 'F(Y)\to F(X\otimes Y)}
로 쓰자.
동형 사상
ξ
0
:
I
′
→
F
(
I
)
{\displaystyle \xi _{0}\colon I'\to F(I)}
이 데이터는 다음 두 조건을 만족시켜야 한다.
(결합자의 보존) 임의의 대상
X
,
Y
,
Z
∈
C
{\displaystyle X,Y,Z\in {\mathcal {C}}}
에 대하여,
F
α
X
,
Y
,
Z
∘
ξ
X
⊗
Y
,
Z
∘
(
ξ
X
,
Y
⊗
id
F
(
Z
)
)
=
ξ
X
,
Y
⊗
Z
∘
(
id
F
(
X
)
⊗
ξ
Y
,
Z
)
∘
α
F
(
X
)
,
F
(
Y
)
,
F
(
Z
)
′
{\displaystyle F\alpha _{X,Y,Z}\circ \xi _{X\otimes Y,Z}\circ (\xi _{X,Y}\otimes \operatorname {id} _{F(Z)})=\xi _{X,Y\otimes Z}\circ (\operatorname {id} _{F(X)}\otimes \xi _{Y,Z})\circ \alpha '_{F(X),F(Y),F(Z)}}
. 즉, 다음 그림이 가환 그림이다.
(
F
(
X
)
⊗
′
F
(
Y
)
)
⊗
′
F
(
Z
)
→
ξ
⊗
id
F
(
X
⊗
Y
)
⊗
′
F
(
Z
)
→
ξ
F
(
(
X
⊗
Y
)
⊗
Z
)
↓
α
′
↓
F
α
F
(
X
)
⊗
′
(
F
(
Y
)
⊗
′
F
(
Z
)
)
→
id
⊗
ξ
F
(
X
)
⊗
′
F
(
Y
⊗
Z
)
→
ξ
F
(
X
⊗
(
Y
⊗
Z
)
)
{\displaystyle {\begin{matrix}(F(X)\otimes 'F(Y))\otimes 'F(Z)&\xrightarrow {\xi \otimes \operatorname {id} } &F(X\otimes Y)\otimes 'F(Z)&\xrightarrow {\xi } &F((X\otimes Y)\otimes Z)\\\downarrow \scriptstyle \alpha '&&&&\downarrow \scriptstyle F\alpha \\F(X)\otimes '(F(Y)\otimes 'F(Z))&{\xrightarrow[{\operatorname {id} \otimes \xi }]{}}&F(X)\otimes 'F(Y\otimes Z)&{\xrightarrow[{\xi }]{}}&F(X\otimes (Y\otimes Z))\end{matrix}}}
(왼쪽 항등자의 보존) 임의의 대상
X
∈
C
{\displaystyle X\in {\mathcal {C}}}
에 대하여,
λ
F
(
X
)
′
=
F
λ
X
∘
ξ
I
,
X
∘
(
ξ
0
⊗
id
F
(
X
)
)
{\displaystyle \lambda '_{F(X)}=F\lambda _{X}\circ \xi _{I,X}\circ (\xi _{0}\otimes \operatorname {id} _{F(X)})}
. 즉, 다음 그림이 가환 그림이다.
I
′
⊗
′
F
(
X
)
→
ξ
0
⊗
id
F
(
I
)
⊗
′
F
(
X
)
λ
′
↓
↓
ξ
F
(
X
)
←
F
λ
F
(
I
⊗
X
)
{\displaystyle {\begin{matrix}I'\otimes 'F(X)&\xrightarrow {\xi _{0}\otimes \operatorname {id} } &F(I)\otimes 'F(X)\\{\scriptstyle \lambda '}\downarrow &&\downarrow \scriptstyle \xi \\F(X)&\xleftarrow {F\lambda } &F(I\otimes X)\end{matrix}}}
(오른쪽 항등자의 보존) 임의의 대상
X
∈
C
{\displaystyle X\in {\mathcal {C}}}
에 대하여,
ρ
F
(
X
)
′
=
F
ρ
X
∘
ξ
X
,
I
∘
(
id
F
(
X
)
⊗
ξ
0
)
{\displaystyle \rho '_{F(X)}=F\rho _{X}\circ \xi _{X,I}\circ (\operatorname {id} _{F(X)}\otimes \xi _{0})}
. 즉, 다음 그림이 가환 그림이다.
F
(
X
)
⊗
′
I
′
→
id
⊗
ξ
0
F
(
X
)
⊗
′
F
(
I
)
ρ
′
↓
↓
ξ
F
(
X
)
←
F
ρ
F
(
X
⊗
I
)
{\displaystyle {\begin{matrix}F(X)\otimes 'I'&\xrightarrow {\operatorname {id} \otimes \xi _{0}} &F(X)\otimes 'F(I)\\{\scriptstyle \rho '}\downarrow &&\downarrow \scriptstyle \xi \\F(X)&\xleftarrow {F\rho } &F(X\otimes I)\end{matrix}}}
자연 동형
ξ
{\displaystyle \xi }
를 자연 변환 으로 약화시키고, 동형 사상
ξ
0
{\displaystyle \xi _{0}}
을 사상으로 약화시키면 약한 모노이드 함자 (영어 : lax monoidal functor )의 정의를 얻는다.
두 모노이드 범주
(
C
,
⊗
,
I
,
α
,
λ
,
ρ
)
{\displaystyle ({\mathcal {C}},\otimes ,I,\alpha ,\lambda ,\rho )}
와
(
C
′
,
⊗
′
,
I
′
,
α
′
,
λ
′
,
ρ
′
)
{\displaystyle ({\mathcal {C}}',\otimes ',I',\alpha ',\lambda ',\rho ')}
사이의 두 모노이드 함자
(
F
,
ξ
,
ξ
0
)
{\displaystyle (F,\xi ,\xi _{0})}
와
(
G
,
ϕ
,
ϕ
0
)
{\displaystyle (G,\phi ,\phi _{0})}
사이의 모노이드 자연 변환 (monoid自然變換, 영어 : monoidal functor )은 다음 두 조건을 만족시키는 자연 변환
η
:
F
⇒
G
{\displaystyle \eta \colon F\Rightarrow G}
이다.
(모노이드 함자 구조의 보존) 임의의 대상
X
,
Y
∈
C
{\displaystyle X,Y\in {\mathcal {C}}}
에 대하여,
η
X
⊗
Y
∘
ξ
X
,
Y
=
ϕ
X
,
Y
∘
(
η
X
⊗
η
Y
)
{\displaystyle \eta _{X\otimes Y}\circ \xi _{X,Y}=\phi _{X,Y}\circ (\eta _{X}\otimes \eta _{Y})}
. 즉, 다음 그림이 가환한다.
F
(
X
)
⊗
F
(
Y
)
→
ξ
F
(
X
⊗
Y
)
η
⊗
η
↓
↓
η
G
(
X
)
⊗
G
(
Y
)
→
ϕ
G
(
X
⊗
Y
)
{\displaystyle {\begin{matrix}F(X)\otimes F(Y)&\xrightarrow {\xi } &F(X\otimes Y)\\{\scriptstyle \eta \otimes \eta }\downarrow &&\downarrow {\scriptstyle \eta }\\G(X)\otimes G(Y)&{\xrightarrow[{\phi }]{}}&G(X\otimes Y)\end{matrix}}}
(모노이드 함자 구조의 보존)
ϕ
0
=
η
I
∘
ξ
0
{\displaystyle \phi _{0}=\eta _{I}\circ \xi _{0}}
. 즉, 다음 그림이 가환한다.
I
′
→
ξ
0
F
(
I
)
ϕ
0
↘
↓
η
I
G
(
I
)
{\displaystyle {\begin{matrix}I'&\xrightarrow {\xi _{0}} &F(I)\\&{\scriptstyle \phi _{0}}\searrow &\downarrow {\scriptstyle \eta _{I}}\\&&G(I)\end{matrix}}}