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모노이드 범주

범주론에서, 모노이드 범주(monoid範疇, 영어: monoidal category)는 동형 사상 아래 결합 법칙이 성립하고 동형 사상 아래 왼쪽·오른쪽 항등원이 존재하는 이항 연산을 갖는 범주이다.[1][2] 모노이드 범주 속에는 모노이드 대상의 개념을 정의할 수 있다.

정의편집

모노이드 범주  는 다음과 같은 데이터로 구성된다.

  • 범주  
  • 함자  
  • 대상  . 이를 항등원(恒等元, 영어: identity element)이라고 한다.
  • 함자  ,   사이의 자연 동형  . 그 성분을  로 쓰자. 이를 결합자(結合子, 영어: associator)라고 한다.
  • 함자  ,   사이의 자연 동형  . 그 성분을  로 쓰자. 이를 왼쪽 항등자(왼쪽恒等子, 영어: left unitor)라고 한다.
  • 함자  ,   사이의 자연 동형  . 그 성분을  로 쓰자. 이를 오른쪽 항등자(오른쪽恒等子, 영어: right unitor)라고 한다.

이 데이터는 다음 조건들을 만족시켜야 한다.

  • (결합자의 일관성) 임의의 대상  에 대하여,  . 즉, 다음 그림은 가환 그림이다.
     
  • (항등원의 일관성) 임의의 대상  에 대하여,  . 즉, 다음 그림은 가환 그림이다.
     

모노이드 함자편집

두 모노이드 범주   가 주어졌다고 하자. 모노이드 함자(monoid函子, 영어: monoidal functor)  는 다음과 같은 데이터로 구성된다.

  • 함자  
  • 자연 동형  
  • 동형 사상  

이 데이터는 다음 두 조건을 만족시켜야 한다.

  • (결합성) 임의의  에 대하여 다음 그림이 가환 그림이다.
     
  • (항등성) 임의의  에 대하여 다음 두 그림이 가환 그림이다.
     

모든   동형 사상이면,  엄격한 모노이드 함자(영어: strict monoidal functor)라고 한다.

대칭 모노이드 범주편집

모노이드 범주에서, 이항 연산은 일반적으로 교환 법칙을 만족시키지 않는다. 즉, 임의의 두 대상  에 대하여,  일 필요가 없다. 만약 이 조건을 추가한다면, 대칭 모노이드 범주의 개념을 얻는다.

닫힌 모노이드 범주편집

모노이드 범주에서, 모노이드 연산과 호환되는 일종의 지수 대상의 존재에 대한 조건을 추가하면, 닫힌 모노이드 범주의 개념을 얻는다.

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(끝 대상을 포함한) 유한 이 존재하는 범주는 곱을 통해 대칭 모노이드 범주를 이룬다. 이러한 모노이드 범주를 데카르트 모노이드 범주(영어: Cartesian monoidal category)라고 한다. 마찬가지로, (시작 대상을 포함한) 유한 쌍대곱이 존재하는 범주는 쌍대곱을 통해 대칭 모노이드 범주를 이루며, 이러한 모노이드 범주를 쌍대 데카르트 모노이드 범주(영어: co-Cartesian monoidal category)라고 한다.

범주 연산   항등원   대칭 모노이드 범주?
집합의 범주   곱집합   한원소 집합
집합의 범주   분리합집합   공집합
작은 범주의 범주   곱범주 하나의 대상 및 하나의 사상을 가진 범주  
가환환   위의 가군의 범주   가군의 텐서곱   1차 자유 가군  
가환환   위의 가군의 범주   가군의 직합   자명 가군  
아벨 군의 범주   아벨 군텐서곱   무한 순환군  
모노이드  의 원소를 대상으로 하고, 모든 사상이 항등 사상인 작은 범주 모노이드 이항 연산 모노이드 항등원 아닐 수 있음

역사편집

손더스 매클레인이 1963년에 모노이드 범주 및 대칭 모노이드 범주의 개념을 정의하였고, 모노이드 범주가 만족시켜야 하는 (무한한 수의) 항등식 가환 그림들이 오직 5개의 가환 그림만으로 함의된다는 매클레인 일관성 정리(Mac Lane一貫性定理, 영어: Mac Lane coherence theorem)를 증명하였다.[3] 조금 더 정확히 말하면, 모든 모노이드 범주는 결합자와 두 항등자가 모두 항등 자연 변환인 모노이드 범주와 (모노이드 범주로서) 동치이다. 이후 그레고리 맥스웰 켈리(영어: Gregory Maxwell Kelly, 1930~2007)가 매클레인의 5개의 가환 그림이 2개(오각형과 삼각형)의 가환 그림만으로 함의된다는 것을 보였다.[4]:Theorem 3′

참고 문헌편집

  1. Etingof, Pavel; Gelaki, Shlomo; Nikshych, Dmitri; Ostrik, Victor (2015). 《Tensor categories》 (PDF). Mathematical Surveys and Monographs (영어) 205. American Mathematical Society. ISBN 978-1-4704-2024-6. ISSN 0076-5376. 
  2. Aguiar, Marcelo; Mahajan, Swapneel (2010). 《Monoidal functors, species and Hopf algebras》 (PDF). Centre de Recherches Mathématiques Monograph Series (영어) 29. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-4776-3. ISSN 1065-8599. 
  3. Mac Lane, Saunders (1963). “Natural associativity and commutativity”. 《Rice University Studies》 (영어) 49 (4): 28–46. ISSN 0035-4996. Zbl 0244.18008. 
  4. Kelly, Gregory Maxwell (1964년 12월). “On MacLane’s conditions for coherence of natural associativities, commutativities, etc.”. 《Journal of Algebra》 (영어) 1 (4): 397–402. ISSN 0021-8693. doi:10.1016/0021-8693(64)90018-3. 

외부 링크편집