주 메뉴 열기

모듈라이 공간

대수기하학에서, 모듈라이 공간(moduli空間, 영어: moduli space)은 각 점이 어떤 공간족의 각 원소와 대응하는 공간이다. 이를 사용하여, 여러 분류 문제를 해결할 수 있다. 대수적 위상수학분류 공간과 유사한 개념이다.

정의편집

스킴집합으로 대응시키는 함자  가 주어졌다고 하자. 이 함자의 섬세한 모듈라이 공간(영어: fine moduli space)   표현이다. 즉,

  •  스킴이다.
  •  자연 동형이다.

이 정의는 다음과 같이 해석한다.

  • 함자  는 어떤 밑공간   위에 존재할 수 있는 모든 공간족(族)들의 집합으로 생각한다.
  •    위에 존재하는 공간족들이 사상  과 대응한다는 것을 의미한다. 즉,   위의 임의의 공간족은 사상  으로 인한,   위의 보편 공간족(영어: universal family)의 당김으로 유도된다.

함자  거친 모듈라이 공간(영어: coarse moduli space)  은 다음을 만족시키는 순서쌍이다.

  •  은 스킴이다.
  •  자연 변환이다.
  • 모든 대수적으로 닫힌 체  에 대하여, 함수  전단사 함수이다.
  • 임의의 스킴   및 자연 변환  에 대하여,  인 자연 변환  이 존재한다.

이 밖에도, 스킴의 범주 대신 예를 들어 어떤 주어진 스킴 위의 스킴들의 범주나 다른 기하학적 범주에서도 섬세한·거친 모듈라이 공간을 정의할 수 있다.

일반적으로, 자기 동형 사상을 갖는 공간들의 공간족은 섬세한 모듈라이 공간을 가질 수 없으며, 오직 거친 모듈라이 공간만이 존재한다. 이 경우 추가 구조를 주어 자기 동형을 없애거나, 아니면 스택과 같은 대상을 사용하여야 한다.

편집

그라스만 다양체편집

어떤  -벡터 공간  에 대하여, 그라스만 다양체   의 (원점을 지나는)  차원 부분 벡터 공간들의 모듈라이 공간이다.  인 경우, 이는 사영 공간으로 불린다.

저우 다양체편집

저우 다양체    속의 차수  의 곡선들의 모듈라이 공간이다. 보다 일반적으로, 힐베르트 스킴사영 공간 속의 모든 닫힌 부분 스킴들을 분류하는 모듈라이 공간이다.

곡선의 모듈라이 공간편집

종수가  비특이 사영 대수 곡선들의 경우 (섬세한) 모듈라이 공간이 존재하지 않고, 대신 오직 모듈라이 스택만이 존재하는데, 이를  라고 한다. 여기에 안정 곡선을 추가하여 콤팩트화하면, 종수  의 안정 곡선들의 모듈라이 스택  를 얻는다. 물론 종수가  비특이 (또는 안정) 곡선들의 거친 모듈라이 공간은 존재하지만, 이는 모듈라이 스택보다 더 적은 양의 정보를 담고 있다.

같이 보기편집

참고 문헌편집

  • Harris, Joe; Ian Morrison (1998). 《Moduli of Curves》 (영어). Springer. ISBN 0-387-98429-1. 

외부 링크편집