기댓값

확률론에서 확률 변수의 기댓값(期待값, 영어: expected value,$\operatorname {E}$)은 각 사건이 벌어졌을 때의 이득과 그 사건이 벌어질 확률을 곱한 것을 전체 사건에 대해 합한 값이다. 이것은 어떤 확률적 사건에 대한 평균의 의미로 생각할 수 있다. 이 경우 '모 평균'으로 다룰수있다.

모 평균(population mean) μ는 모 집단의 평균이다. 모두 더한 후 전체 데이터 수 n으로 나눈다. 확률 변수의 기댓값이다.

정의

확률공간 $(P,{\mathcal {P}},\mu )$ 위의 실수값 확률 변수 $X\colon P\to \mathbb {R}$의 기댓값 $\operatorname {E} [X]$은 그 르베그 적분이다.

$\operatorname {E} [X]=\int _{P}X\,d\mu$

예를 들어, 이산 확률 변수일 경우에는 다음과 같다.

$\operatorname {E} [X]=\sum _{i}p_{i}x_{i}$

여기서 $x_{i}$는 가능한 모든 사건, $p(x_{i})$는 $x_{i}$ 사건이 일어날 확률을 의미한다. 연속 확률 변수일 경우에는 다음과 같다.

$\operatorname {E} [X]=\int _{-\infty }^{\infty }xf(x)\ \operatorname {d} x$

이 때 $f(x)$는 확률밀도함수를 나타낸다.

성질

선형성

기댓값은 선형 연산자이다. 즉 다음이 성립한다.

$\operatorname {E} (X+Y)=\operatorname {E} (X)+\operatorname {E} (Y)$ (가산성)

$\operatorname {E} (cX)=c\operatorname {E} (X)$ (동차성)

예

예를 들어, 주사위를 한 번 던졌을 때, 각 눈의 값이 나올 확률은 1/6이고, 주사위값의 기댓값은 각 눈의 값에 그 확률을 곱한 값의 합인

$1\cdot {\frac {1}{6}}+2\cdot {\frac {1}{6}}+3\cdot {\frac {1}{6}}+4\cdot {\frac {1}{6}}+5\cdot {\frac {1}{6}}+6\cdot {\frac {1}{6}}=3.5$

가 된다.

같이 보기

• 기대효용가설
• 표준오차

외부 링크

• “Mathematical expectation”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Expectation value”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.