몫 규칙

미적분학에서 몫 규칙(-規則, 영어: quotient rule) 또는 몫의 미분법은 두 함수의 몫을 미분할 때 쓰이는 공식이다.

정의

두 함수 $f,g\colon I\to \mathbb {R}$가 $x_{0}\in I\subseteq \mathbb {R}$에서 미분 가능하다고 하자. 또한, $g(x_{0})\neq 0$이라고 하자. 그렇다면, $f/g$ 역시 $x_{0}$에서 미분 가능하며, 그 미분은 다음과 같다.

$\left({\frac {f}{g}}\right)'(x_{0})={\frac {f'(x_{0})g(x_{0})-f(x_{0})g'(x_{0})}{g(x_{0})^{2}}}$

함수의 선형 근사 $d(-)$를 사용하여 표기하면 다음과 같다.

$\left.d\left({\frac {f}{g}}\right)\right|_{x=x_{0}}=\left.{\frac {gdf-fdg}{g^{2}}}\right|_{x=x_{0}}$

예

• ${\frac {(4x-2)}{(x^{2}+1)}}$의 미분은:

${\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}{\frac {4x-2}{x^{2}+1}}&={\frac {(x^{2}+1)(4)-(4x-2)(2x)}{(x^{2}+1)^{2}}}\\&={\frac {(4x^{2}+4)-(8x^{2}-4x)}{(x^{2}+1)^{2}}}\\&={\frac {-4x^{2}+4x+4}{(x^{2}+1)^{2}}}\end{aligned}}$

위의 예제에서는

$g(x)=4x-2$

$h(x)=x^{2}+1$

로 지정했다.

• $\sin(x)/x^{2}$의 미분 ($x$ ≠ 0 일 때):

${\frac {\cos(x)x^{2}-\sin(x)2x}{x^{4}}}$

또다른 예로 : $f(x)={\frac {2x^{2}}{x^{3}}}$를 미분할 경우에: $g(x)=2x^{2}$ and $h(x)=x^{3}$, and $g'(x)=4x$ and $h'(x)=3x^{2}$ 라는 것을 볼 수 있고, 따라서

${\begin{aligned}f'(x)&={\frac {\left(4x\cdot x^{3}\right)-\left(2x^{2}\cdot 3x^{2}\right)}{\left(x^{3}\right)^{2}}}\\&={\frac {4x^{4}-6x^{4}}{x^{6}}}\\&={\frac {-2x^{4}}{x^{6}}}\\&=-{\frac {2}{x^{2}}}\end{aligned}}$

이다.

증명

뉴턴의 차분몫의 응용

만약 $f(x)={\frac {g(x)}{h(x)}}$이며

$h(x)\neq 0$이 성립하고 $g$ 와 $h$는 미분 가능한 함수라면:

${\begin{aligned}f'(x)&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {{\frac {g(x+\Delta x)}{h(x+\Delta x)}}-{\frac {g(x)}{h(x)}}}{\Delta x}}\\&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {1}{\Delta x}}\left({\frac {g(x+\Delta x)h(x)-g(x)h(x+\Delta x)}{h(x)h(x+\Delta x)}}\right)\\&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {1}{\Delta x}}\left({\frac {(g(x+\Delta x)h(x)-g(x)h(x))-(g(x)h(x+\Delta x)-g(x)h(x))}{h(x)h(x+\Delta x)}}\right)\\&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {1}{\Delta x}}\left({\frac {h(x)(g(x+\Delta x)-g(x))-g(x)(h(x+\Delta x)-h(x))}{h(x)h(x+\Delta x)}}\right)\\&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {{\frac {g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}}h(x)-g(x){\frac {h(x+\Delta x)-h(x)}{\Delta x}}}{h(x)h(x+\Delta x)}}\\&={\frac {\lim _{\Delta x\to 0}\left({\frac {g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}}\right)h(x)-g(x)\lim _{\Delta x\to 0}\left({\frac {h(x+\Delta x)-h(x)}{\Delta x}}\right)}{h(x)h(\lim _{\Delta x\to 0}(x+\Delta x))}}\\&={\frac {g'(x)h(x)-g(x)h'(x)}{[h(x)]^{2}}}\end{aligned}}$

곱 규칙의 응용

만약 $f(x)={\frac {g(x)}{h(x)}}$ 라면

$g(x)=f(x)h(x)$

$g'(x)=f'(x)h(x)+f(x)h'(x)$

나머지는 간단한 방정식을 풀때와 비슷한 방법으로 $f'(x)$를 식 왼쪽의 유일한 항으로 만들어주면 되고, $f(x)$는 식 오른쪽에서 없애야 한다.

${\begin{aligned}f'(x)&={\frac {g'(x)-f(x)h'(x)}{h(x)}}\\&={\frac {g'(x)-{\frac {g(x)}{h(x)}}\cdot h'(x)}{h(x)}}\\&={\frac {g'(x)h(x)-g(x)h'(x)}{\left(h(x)\right)^{2}}}\end{aligned}}$

이어서

$f(x)={{g(x)} \over {h(x)}}$에서

$g(x)=1$일때

$(f(x))^{'}=\left({{1} \over {h(x)}}\right)^{'}$

$\;\;\;={{\left(-h(x)\right)^{'}} \over {(h(x))^{2}}}$

$\;\;\;=-{{h'(x)} \over {h^{2}(x)}}$

같이 보기

• 곱 규칙
• 연쇄 법칙
• 뉴턴의 차분몫