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부분 대상과 몫 대상

(몫 대상에서 넘어옴)

범주론에서, 부분 대상(部分對象, 영어: subobject)은 어떤 범주에서 주어진 대상의 일부분으로 여길 수 있는 구조이며, 몫 대상(-對象, 영어: quotient object)은 어떤 범주에서 주어진 대상에 동치 관계를 가한 것으로 여길 수 있는 구조이다. 부분집합이나 부분군동치류 집합, 몫군의 개념을 추상화한 것이다.

정의편집

부분 대상과 몫 대상은 서로 쌍대되는 개념이다. 즉, 범주  에서 대상  의 부분 대상 범주  가 주어졌다면,

 

이다. 여기서  는 범주의 동형이다.

부분 대상편집

범주  의 대상  부분 대상 공역으로 하는 단사 사상들의 동치류이다. 여기서 사용되는 동치 관계는 다음과 같다. 만약

 
 

이며,

 
 

인 사상

 
 

이 존재한다면,

 

로 놓는다.

 의 부분 대상의 모임  에는 다음과 같은 자연스러운 부분 순서  가 정의된다.

 

이에 따라,  는 (사상 모임이 공집합이거나 하나의 원소만을 가진) 범주로 간주할 수 있다.

몫 대상편집

범주  의 대상  몫 대상 정의역으로 하는 전사 사상들의 동치류이다. 여기서 사용되는 동치 관계는 다음과 같다. 만약

 
 

이며,

 
 

인 사상

 
 

이 존재한다면,

 

로 놓는다.

 의 몫 대상의 모임  에는 다음과 같은 자연스러운 부분 순서  가 정의된다.

 

이에 따라,  는 (사상 모임이 공집합이거나 하나의 원소만을 가진) 범주로 간주할 수 있다.

정멱 범주편집

범주  에서, 주어진 대상  의 부분 대상 모임  고유 모임일 수 있다. 만약 모든 대상의 부분 대상 모임이 집합이라면,  정멱 범주(整冪範疇, 영어: well-powered category)라고 한다.

마찬가지로, 범주  의 모든 대상의 몫 대상 모임이 집합이라면,  쌍대 정멱 범주(雙對整冪範疇, 영어: co-well-powered category)라고 한다.

정의에 따라, 부분 대상 분류자를 갖는 국소적으로 작은 범주는 정멱 범주이다.

참고 문헌편집

외부 링크편집