몰리 삼등분 정리

기하학에서 몰리 삼등분 정리(Morley三等分定理, 영어: Morley's trisector theorem)는 삼각형의 한 가지 경이로운 성질에 대한 정리이다. 이에 따르면, 임의의 삼각형의 각의 삼등분선의 이웃하는 것들끼리의 교점은 정삼각형의 꼭짓점을 이룬다.

6개의 선분이 큰 삼각형의 세 각을 삼등분한다면 가운데에 위치한 삼각형의 세 변의 길이는 같다.

정의

삼각형 $\triangle ABC$의 각 $\angle B$와 $\angle C$의 변 $BC$와 더 가까운 삼등분선의 교점이 $X$라고 하자. 마찬가지로 각 $\angle A$와 $\angle C$의 변 $AC$와 더 가까운 삼등분선의 교점이 $Y$라고 하고, 각 $\angle A$와 $\angle B$의 변 $AB$와 가까운 삼등분선의 교점이 $Z$라고 하자. 몰리 삼등분 정리에 따르면, 삼각형 $\triangle XYZ$는 정삼각형이다. 삼각형 $\triangle XYZ$를 삼각형 $\triangle ABC$의 몰리 삼각형(Morley三角形, 영어: Morley triangle)이라고 한다. 즉, 몰리 삼등분 정리는 임의의 삼각형의 몰리 삼각형은 정삼각형이라는 내용이다.

증명

초등적 증명

정삼각형 $\triangle XYZ$를 고정하자.^{:82-85, §2G} 임의의 삼각형 $\triangle A'B'C'$에 대하여, 다음 두 조건을 만족시키는 삼각형 $\triangle ABC$를 찾는 것으로 족하다.

• 삼각형 $\triangle ABC$와 $\triangle A'B'C'$은 서로 닮음이다.
• 삼각형 $\triangle ABC$의 몰리 삼각형은 삼각형 $\triangle XYZ$이다.

우선

$\angle A'=3\alpha ,\;\angle B'=3\beta ,\;\angle C'=3\gamma$

이라고 하자. 그렇다면

$\alpha +\beta +\gamma =60^{\circ }$

이다. 삼각형 $\triangle XYZ$ 외부의 세 점 $A,B,C$를 다음과 같이 정의하자.

$\angle BZX=\angle CYX=60^{\circ }+\alpha$

$\angle CXY=\angle AZY=60^{\circ }+\beta$

$\angle AYZ=\angle BXZ=60^{\circ }+\gamma$

그렇다면

$\angle YAZ=\alpha ,\;\angle XBZ=\beta ,\;\angle XCY=\gamma$

이다. 이제 $AY$와 $AZ$, $BX$와 $BZ$, $CX$와 $CY$가 삼각형 $\triangle ABC$의 세 각의 삼등분선이라는 사실을 증명하자. 직선 $BZ$와 $CY$의 교점이 $U$라고 하고, 직선 $AZ$와 $CX$의 교점이 $V$라고 하고, 직선 $AY$와 $BX$의 교점을 $W$라고 하자. 그렇다면

$\angle UYZ=\angle UZY=60^{\circ }-\alpha$

이므로 $UY=UZ$이며, 삼각형 $\triangle UYX$와 $\triangle UZX$는 서로 합동이다. 특히, 반직선 $UX$는 각 $\angle U$의 이등분선이다. 또한,

$\angle BUC=180^{\circ }-\angle UYZ-\angle UZY=60^{\circ }+2\alpha$

$\angle BXC=180^{\circ }-\angle CXW=120^{\circ }+\gamma$

이므로,

$\angle BXC=90^{\circ }+{\frac {1}{2}}\angle BUC$

이다. 즉, $X$는 삼각형 $\triangle BCU$의 내심이며, 반직선 $BX$와 $CX$는 각 $\angle CBU$와 $\angle BCU$의 이등분선이다. 마찬가지로, 반직선 $AY$와 $CY$는 삼각형 $\triangle ACV$의 두 각의 이등분선이며, 반직선 $AZ$와 $BZ$는 삼각형 $\triangle ABW$의 두 각의 이등분선이다. 즉, 이 6개의 반직선은 모두 삼각형 $\triangle ABC$의 세 각의 삼등분선이며, 삼각형 $\triangle XYZ$는 삼각형 $\triangle ABC$의 몰리 삼각형이다. 또한,

$\angle BAC=3\alpha =\angle A'$

$\angle ABC=3\beta =\angle B'$

$\angle ACB=3\gamma =\angle C'$

이므로, 삼각형 $\triangle ABC$와 $\triangle A'B'C'$은 서로 닮음이다. 닮음은 직선을 보존하고 두 직선 사이의 각의 크기를 보존하며, 특히 각의 삼등분선을 각의 삼등분선으로, 정삼각형을 정삼각형으로 변환한다. 이에 의하여 원래 삼각형 $\triangle A'B'C'$의 몰리 삼각형 역시 정삼각형이다.

삼각법을 통한 증명

몰리 삼각형의 세 변의 길이를 직접 구하여 증명할 수 있다.^{:43-44, §10.2} 삼각형 $\triangle ABC$의 외접원의 반지름이 $R$라고 하고,

$\angle BAC=3\alpha ,\;\angle ABC=3\beta ,\;\angle ACB=3\gamma$

라고 하자. 그렇다면

$\alpha +\beta +\gamma =60^{\circ }$

이다. 삼각형 $\triangle BCX$에 사인 법칙을 적용하면

${\begin{aligned}CX&={\frac {BC\cdot \sin \beta }{\sin(180^{\circ }-\beta -\gamma )}}\\&={\frac {2R\sin 3\alpha \sin \beta }{\sin(60^{\circ }-\alpha )}}\\&=8R\sin \alpha \sin \beta \sin(60^{\circ }+\alpha )\end{aligned}}$

를 얻는다. 마지막 등호는 항등식

${\begin{aligned}\sin 3\alpha &=3\sin \alpha -4\sin ^{3}\alpha \\&=4\sin \alpha \left(\left({\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)^{2}-\sin ^{2}\alpha \right)\\&=4\sin \alpha (\sin 60^{\circ }+\sin \alpha )(\sin 60^{\circ }-\sin \alpha )\\&=4\sin \alpha \cdot 2\sin {\frac {60^{\circ }+\alpha }{2}}\cos {\frac {60^{\circ }-\alpha }{2}}\cdot 2\sin {\frac {60^{\circ }-\alpha }{2}}\cos {\frac {60^{\circ }+\alpha }{2}}\\&=4\sin \alpha \sin(60^{\circ }+\alpha )\sin(60^{\circ }-\alpha )\end{aligned}}$

때문이다. 마찬가지로,

$CY=8R\sin \alpha \sin \beta \sin(60^{\circ }+\beta )$

가 성립한다. 삼각형 $\triangle CXY$에 코사인 법칙을 적용하면

${\begin{aligned}XY^{2}&=CX^{2}+CY^{2}-2CX\cdot CY\cdot \sin \gamma \\&=64R^{2}\sin ^{2}\alpha \sin ^{2}\beta (\sin ^{2}(60^{\circ }+\alpha )+\sin ^{2}(60^{\circ }+\beta )-2\sin(60^{\circ }+\alpha )\sin(60^{\circ }+\beta )\cos \gamma )\\&=64R^{2}\sin ^{2}\alpha \sin ^{2}\beta \sin ^{2}\gamma \end{aligned}}$

를 얻는다. 마지막 등호는 세 각의 크기가 $60^{\circ }+\alpha$와 $60^{\circ }+\beta$ 및 $\gamma$인 삼각형에 코사인 법칙을 적용한 결과이다. 즉,

$XY=8R\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma$

이다. 이는 $\alpha ,\beta ,\gamma$에 대하여 대칭적이므로,

$XY=XZ=YZ$

가 성립한다.

역사

미국의 수학자 프랭크 몰리가 1900년에 제시하였다.

같이 보기

• 나폴레옹 정리

외부 링크

• Weisstein, Eric Wolfgang. “Morley's theorem”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.