무게 (표현론)

리 대수 이론에서, 무게(영어: weight)는 리 대수의 표현을 분류하는 일련의 수들이다.

정의

체 $K$에 대한 리 대수 ${\mathfrak {g}}$의 무게 $\lambda \in {\mathfrak {g}}^{\vee }$는 다음 성질을 만족시키는 $K$-선형 범함수이다. (여기서 $(-)^{\vee }$는 쌍대 공간이다.)

$\lambda ([a,b])=0\qquad \forall a,b\in {\mathfrak {g}}$

무게는 리 괄호에 대하여 0이므로, 리 대수 ${\mathfrak {g}}$의 무게는 그 가환화 ${\mathfrak {g}}/[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]$의 무게로 제한될 수 있다. 즉, ${\mathfrak {g}}$의 무게는 $({\mathfrak {g}}/[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}])^{*}$의 원소를 정의한다.

무게 가군

다음이 주어졌다고 하자.

• 체 $K$
• $K$-리 대수 ${\mathfrak {g}}$
• ${\mathfrak {g}}$의 표현 ${\mathfrak {g}}\to \operatorname {\mathfrak {gl}} (V;K)$
• ${\mathfrak {g}}$의 무게 $\lambda \in {\mathfrak {g}}^{*}$

그렇다면, $V$ 속의, 무게 $\lambda$의 무게 공간(영어: weight space) $V_{\lambda }$는 $V$의 다음과 같은 부분 공간이다.

$V_{\lambda }=\{v\in V\colon \forall a\in {\mathfrak {g}}\colon av=\lambda (a)v\}$

$V_{\lambda }\neq \{0\}$이라면 $\lambda$를 $V$의 무게라고 하고, 무게 공간의 원소를 무게 벡터(영어: weight vector)라고 한다.

만약 $V$가 그 무게 공간들의 직합이라면, $V$를 ${\mathfrak {g}}$의 무게 가군(-加群, 영어: weight module)이라고 한다.

마찬가지로, 다음을 정의하자. $V$ 속의, 무게 $\lambda$의 일반화 무게 공간(영어: generalized weight space) $V_{\lambda }$는 $V$의 다음과 같은 부분 공간이다.^:130

$V_{\lambda }=\{v\in V\colon \forall a\in {\mathfrak {g}}\colon \exists n\in \mathbb {Z} ^{+}\colon (a-\lambda (a))^{n}v=v\}$

$V_{\lambda }\neq \{0\}$이라면 $\lambda$를 $V$의 일반화 무게(영어: generalized weight)라고 하고, 무게 공간의 원소를 일반화 무게 벡터(영어: generalized weight vector)라고 한다. (유한 차원 $V$의 경우 사실 항상 $n=\dim V$로 잡을 수 있다.)

마찬가지로, 일반화 무게 공간들의 직합으로 표현되는 표현을 일반화 무게 가군(영어: generalized weight module)이라고 한다.

성질

복소수체 위의 유한 차원 멱영 리 대수 ${\mathfrak {n}}$의 모든 유한 차원 표현은 항상 일반화 무게 가군이다.^{:130, Proposition II.2.4}

복소수체 위의 유한 차원 아벨 리 대수 ${\mathfrak {a}}$의 모든 유한 차원 표현은 항상 무게 가군이다.

반단순 리 대수의 카르탕 부분 대수의 무게

만약 ${\mathfrak {g}}$가 복소수체 위의 유한 차원 반단순 리 대수라고 하고, 그 카르탕 부분 대수 ${\mathfrak {h}}\subseteq {\mathfrak {g}}$를 고르자. $[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]={\mathfrak {g}}$이므로, ${\mathfrak {g}}$ 위의 모든 무게는 자명하다. 그러나 아벨 리 대수 ${\mathfrak {h}}$는 (물론) 자명하지 않을 수 있다. 이 경우, ${\mathfrak {g}}$의 모든 유한 차원 표현은 (${\mathfrak {h}}$에 제한되었을 때) ${\mathfrak {h}}$의 무게 가군을 이룬다.

딸림표현 $V={\mathfrak {g}}$의 ${\mathfrak {h}}$-무게들을 ${\mathfrak {g}}$의 근(根, 영어: root)이라고 하며, 이들은 ${\mathfrak {h}}^{*}$의 벡터들의 집합으로서 근계를 이룬다. 근 $\lambda$에 대응하는 쌍대근(雙對根, 영어: coroot) $\lambda ^{\vee }\in {\mathfrak {h}}$은

$\lambda ^{\vee }={\frac {2\lambda }{\langle \lambda ,\lambda \rangle }}$

이다.

단순 리 대수의 무게

${\mathfrak {g}}$가 복소수체 위의 유한 차원 단순 리 대수라고 하고, 그 카르탕 부분 대수 ${\mathfrak {h}}\subseteq {\mathfrak {g}}$를 고르자. ${\mathfrak {g}}$의 정수 무게(整數-, 영어: integral weight) $\lambda \in {\mathfrak {h}}^{*}$는 다음 조건을 만족시키는 무게이다.

• 모든 쌍대근 $\gamma ^{\vee }=2\gamma /\langle \gamma ,\gamma \rangle$에 대하여, $\lambda (\gamma ^{\vee })\in \mathbb {Z}$. (다시 말해, 모든 근 $\gamma$에 대하여, $2\langle \lambda ,\gamma \rangle /\langle \gamma ,\gamma \rangle \in \mathbb {Z}$.)

정수 무게들의 집합 $P({\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}})\subseteq \mathbb {h}$는 (덧셈군으로서) $\mathbb {Z} ^{\oplus \dim {\mathfrak {h}}}$와 동형이며, 이를 정수 무게 격자(영어: integral weight lattice)라고 한다.

${\mathfrak {g}}$의 근계의 양근 $\Delta ^{+}({\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}})\subseteq \Delta ({\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}})$ 및 이를 생성하는 단순근 $\operatorname {S} ({\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}})\subseteq \Delta ^{+}({\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}})$를 고르자. 그렇다면, ${\mathfrak {g}}$의 기본 무게(基本-, 영어: fundamental weight) $\lambda _{i}$는 (선택한 양근 집합에 대한) 단순근에 대응되는 쌍대근들의 집합의 쌍대 기저의 원소이다. 즉, 단순근 집합 $\operatorname {S} ({\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}})=(\alpha _{i})_{i\in \{1,\dotsc ,\dim _{\mathbb {h} }\}}$에 대하여 다음 조건을 만족시키는 무게 $(\omega _{i})_{i\in \{1,\dotsc ,\dim _{\mathbb {h} }\}}\subseteq {\mathfrak {h}}$이다.

$2{\frac {\langle \omega _{i},\alpha _{j}\rangle }{\langle \alpha _{j},\alpha _{j}\rangle }}=\delta _{ij}$

이에 따라, 정수 무게는 기본 무게의 정수 계수 선형 결합이 된다.

${\mathfrak {g}}$의 우세 무게(優勢-, 영어: dominant weight)는 기본 무게의 음이 아닌 실수 계수 선형 결합이다. 즉, 무게 $\gamma \in {\mathfrak {h}}$가 우세 무게가 될 필요 충분 조건은 모든 양근 (또는 단순근) $\alpha$에 대하여

$\langle \gamma ,\alpha \rangle \geq 0$

인 것이다. ${\mathfrak {g}}$의 우세 정수 무게(優勢-, 영어: dominant integral weight)는 기본 무게들의 음이 아닌 정수 계수의 선형 결합이다. 우세 무게들의 닫힌집합(즉, 우세 정수 무게들의 볼록포)를 기본 바일 방(영어: fundamental Weyl chamber)이라고 한다.

즉, 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

무게	⊃	정수 무게	⊃	근	⊃	양근	⊃	단순근
∪		∪
우세 무게	⊃	우세 정수 무게	⊃	기본 무게
		⟒
		영벡터 (0)

여기서

• 밑줄로 강조된 것들은 양근의 선택에 의존하지만, 나머지는 그렇지 않다.
• 기울어지게 쓰인 것들은 유한 집합이며, 나머지는 무한 집합이다.

예

다음과 같은 A₂ 근계를 생각하자.

여기서

• 평면의 모든 점은 무게이다. (즉, 그 수는 비가산 무한 개이다.)
• 삼각형 격자의 모든 꼭짓점은 정수 무게이다. (즉, 그 수는 가산 무한 개이다.)
• 굵게 칠해진 꼭짓점들은 우세 정수 무게이다. (즉, 그 수는 가산 무한 개이다.)
• 굵게 칠해진 꼭짓점들의 볼록포인 60° 부채꼴 속의 점은 우세 무게이다. (즉, 그 수는 비가산 무한 개이다.)
• 화살표의 머리들($\pm \gamma _{1}$, $\pm \gamma _{2}$, $\pm (\gamma _{1}+\gamma _{2})$)은 근이다. (즉, 총 6개의 근이 있다.)
• 양근은 $\gamma _{1}$, $\gamma _{2}$, $\gamma _{1}+\gamma _{2}$이다. (즉, 총 3개의 양근이 있다.)
• 단순근은 $\gamma _{1}$, $\gamma _{2}$이다. (즉, 총 2개의 단순근이 있다.)
• 기본 무게는 $\omega _{1}$, $\omega _{2}$이다. (즉, 총 2개의 기본 무게가 있다.)

다음과 같은 B₂ 근계를 생각하자.

여기서

• 평면의 모든 점은 무게이다. (즉, 그 수는 비가산 무한 개이다.)
• 격자 $\mathbb {Z} \alpha +\mathbb {Z} \beta /2$의 원소는 정수 무게이다. (즉, 그 수는 가산 무한 개이다.)
• $\mathbb {N} (\alpha +\beta )+\mathbb {N} (\alpha +\beta /2)$의 원소는 우세 정수 무게이다. (즉, 그 수는 가산 무한 개이다.)
• 제1사분면의 점 가운데, y좌표가 x좌표보다 더 큰 점들로 구성된 45° 부채꼴 속의 점은 우세 무게이다. (즉, 그 수는 비가산 무한 개이다.)
• 화살표의 머리들($\pm \alpha$, $\pm \beta$, $\pm (\alpha +\beta )$ $\pm (2\alpha +\beta )$)은 근이다. (즉, 총 8개의 근이 있다.)
• 양근은 $\alpha$, $\beta$, $\alpha +\beta$, $2\alpha +\beta$이다. (즉, 총 4개의 양근이 있다.)
• 단순근은 $\alpha$, $\beta$이다. (즉, 총 2개의 단순근이 있다.)
• 기본 무게는 $\alpha +\beta$, $\alpha +\beta /2$이다. (즉, 총 2개의 기본 무게가 있다.)

참고 문헌

• Fulton, William; Harris, Joe (1991). 《Representation theory: a first course》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 129. Springer. doi:10.1007/978-1-4612-0979-9. ISBN 978-3-540-00539-1. ISSN 0072-5285. MR 1153249. Zbl 0744.22001. 

외부 링크

• “Weight of a representation of a Lie algebra”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Lie algebra weight”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Lie algebra root”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Root lattice”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Weight (in representation theory)”. 《nLab》 (영어). 
• “Root (in representation theory)”. 《nLab》 (영어).