순환군

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군론에서, 순환군(循環群, 영어: cyclic group)은 하나의 원소에 의하여 생성되는 이다. 즉, 순환군의 모든 원소는 어떤 고정 원소의 거듭제곱이다. 아벨 군의 연산을 덧셈으로 표기할 경우 이는 모든 원소가 어떤 고정된 원소의 정수배라는 조건이 된다.

정의편집

의 원소  가 생성하는 순환군  은 다음과 같다.

 

차수편집

 차수(次數, 영어: order,ord) 또는 위수(位數)는 집합으로서의 크기  를 뜻한다.

군의 원소  차수  는 그 원소가 생성하는 순환군의 차수이다. 즉, 거듭제곱하여 항등원이 되는 최소 지수와 같거나, 그러한 지수가 없다면 무한대와 같다.

 

지수편집

 지수(指數, 영어: exponent)  는 모든 원소를 거듭제곱하여 항등원이 되는 최소 지수와 같거나, 그러한 지수가 없다면 무한대와 같다.

 

분류편집

순환군은 정수군 또는 그 몫군동형이다. 무한 순환군은 정수군, 유한 순환군은 정수군의 유한 몫군과 동형이다.

 

성질편집

약수 관계편집

군의 유한 차수 원소   및 정수  에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

  •  
  •  

증명:

  • (⇐)  이라면,   가 존재하므로,  이다.
  • (⇒)  이라면,   의 나머지 있는 나눗셈을  라고 하면,  이므로, 차수의 정의에 따라  이다. 즉,  이다.

지수가 유한한 군   및 정수  에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

  • 임의의  에 대하여,  
  •  

증명:

  • (⇐)  이라면,   가 존재하므로, 임의의  에 대하여,  이다.
  • (⇒) 임의의  에 대하여  이라면, 임의의  에 대하여  이므로, 지수의 정의에 따라  이다.

유한군  에 대하여, 다음과 같은 약수 관계가 성립한다.

 

군의 유한 차수 원소  정규 부분군  에 대하여, 다음과 같은 약수 관계가 성립한다.

 

증명:

 

항등식편집

군의 유한 차수 원소   및 정수  에 대하여, 다음과 같은 항등식이 성립한다.

 

증명:

다음 두 가지를 보이는 것으로 족하다.

  •  
    • 증명:  
  •  
    • 증명:  이므로,  이므로,  이므로,  

군의 원소  가 다음 두 조건을 만족시킨다고 하자.

  •  
  •  

그렇다면, 다음과 같은 항등식이 성립한다.

 

증명:

다음 두 가지를 보이는 것으로 족하다.

  •  
    • 증명:  
  •  
    • 증명:  이므로,  이므로,  이다. 비슷하게,  이다. 따라서,  이다.

반대로, 군의 원소  의 차수를 다음과 같은 꼴로 나타낼 수 있다고 하자.

 

그렇다면, 다음 조건들을 만족시키는  가 존재한다.

  •  
  •  
  •  

증명:

베주 항등식에 따라, 다음 조건을 만족시키는  가 존재한다.

 

조건을 만족시키는  를 다음과 같이 취할 수 있다.

 
 

다음 두 가지를 보이는 것으로 족하다.

  •  ,  
    • 증명:  
  •  ,  
    • 증명:  

유한 아벨 군  에 대하여, 다음 조건을 만족시키는  가 존재한다.

  • 임의의  에 대하여,  

즉, 다음이 성립한다.

 

증명:

최대 차수 원소  를 취하자. 임의의  에 대하여,

 

라고 가정하자. 그렇다면,

 

를 만족시키는 소인수  가 존재한다. 이 경우,

 
 

이므로,

 

이며, 이는 모순이다.

순환군편집

모든 순환군은 유한 생성 아벨 군이다.

 에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.

  •  소수이다.
  •  는 순환 단순군이다.
  •  아벨 단순군이다.

증명:

  • 소수 크기의 군 ⇒ 순환 단순군:  가 소수라면, 라그랑주 정리에 따라, 그 부분군은  밖에 없으므로,  는 단순군이다.  를 취하자. 그렇다면,  이므로,  이다. 즉,  는 순환군이다.
  • 순환 단순군 ⇒ 아벨 단순군: 모든 순환군은 아벨 군이므로 성립한다.
  • 아벨 단순군 ⇒ 소수 크기의 군:  가 소수가 아니라고 가정하자.  가 순환군인 경우, 자명하지 않은 (정규) 부분군이 존재하므로,  는 단순군이 아니며, 이는 모순이다.  가 순환군이 아닌 경우, 임의의  를 취하자. 그렇다면,  이며,  이므로,  는 단순군이 아니며, 이 역시 모순이다.

순환군의 부분군 역시 순환군이다. 구체적으로,  의 부분군은 다음과 같은 꼴로 나타낼 수 있다.

 

순환군의 몫군 역시 순환군이다.

유한군  에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

  •  는 순환군이다.
  • 임의의,  의 양의 약수  에 대하여,  이다.
  • 임의의  에 대하여,  이다.

증명:

  • (1) ⇒ (2): 순환군  의, 크기  의 부분군은  가 유일하다.
  • (1) ⇐ (2): 임의의  에 대하여,  임을 증명하자. (여기서  오일러 피 함수이다.) 그렇다면, 특히   가 존재하므로,  는 순환군이다.
    • 증명:   를 취하자. 그렇다면, (2)에 의하여  이므로,   가 존재한다. 차수 공식을 사용하면  를 얻는다. 즉, 구하려는 수는 0이거나  이다. 또한,  이므로, 구하려는 수는  이다.
  • (1) ⇔ (3):: 쉴로브 정리를 사용하여 증명할 수 있다.

순환군  에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.

  •  
  •  

증명:

  • (⇐)  
  • (⇒) 만약  이라면,  이므로,  이다.

코시 정리에 따르면, 임의의 소인수  에 대하여,   가 존재한다.

응용편집

유한 아벨 군의 분해편집

유한 아벨 군의 분해에 응용되는 한 가지 핵심적인 보조정리는 다음과 같다.  가 아벨 유한 p-군,  가 그 최대 차수 원소라고 하자. 그렇다면,   가 존재한다.

증명:

귀류법을 사용하여,  가 최소 크기 반례라고 하자. 그렇다면,  이며,  이므로, 최소 차수 원소  를 취할 수 있다. 이제 다음과 같은 일련의 명제를 증명하기만 하면 된다.

  •  
    • 증명: 그렇지 않다면,   ( )이며,  이므로,  이다.   ( )이라고 하자. 그렇다면,  이므로,  이다. 따라서,  이며,  인데, 이는  의 선택과 모순이다.
  •  
    • 증명:   ( )라고 하자. 그렇다면,   가 존재하며,  이다. 이는 모순이다.
  •  은 최대 차수 원소이다.
    • 증명: 우선  이다.  라고 가정하면,  이므로,  이다. 이는 모순이다. 따라서  이며,  은 최대 차수 원소이다.
  •   가 존재한다.
    • 증명:  
  •  
    • 증명: 우선,  이므로,  이다. 또한,  이므로,  이며,  이다.

외부 링크편집