미분 등급 대수

호몰로지 대수학에서, 미분 등급 대수(微分等級代數, 영어: differential graded algebra, 약자 DGA)는 곱 규칙을 만족시키는 공경계 연산이 주어진 공사슬 복합체이다. 미분 대수의 개념의 일반화이다.

정의편집

가환환  가 주어졌다고 하자.

추상적 정의편집

음이 아닌 차수 공사슬 복합체아벨 범주  를 생각하자. 이는 텐서곱에 대하여 대칭 모노이드 범주를 이루며, 따라서 모노이드 대상과 가환 모노이드 대상을 정의할 수 있다.

미분 등급 대수 모노이드 대상이다. 가환 미분 등급 대수(可換微分等級代數, 영어: commutative differential graded algebra, CDGA)는  의 가환 모노이드 대상이다. 이들의 범주를 각각   이라고 표기하자.

음이 아닌 차수의 공사슬 복합체 대신, 모든 정수 차수의 공사슬 복합체를 사용할 수도 있다. 이들을 사용하여 얻는 범주를 각각   라고 표기하자.

구체적 정의편집

 에 대한 미분 등급 대수  는 다음과 같은 데이터로 구성된다.

  •  는 결합  -등급 대수이다.
  •  는 등급이 1인  -선형 변환이다.

이는 다음 공리들을 만족시켜야 한다.

  • (멱영성)  . 즉,  공사슬 복합체이다.
  • (곱 규칙) 모든 동차 원소  에 대하여,  

 에 대한 가환 미분 등급 대수는 (자연수 등급의) 미분 등급 대수 가운데,  에 대한 등급 교환 법칙을 따르는 것이다. 즉,

 

이다.

연산편집

직접곱편집

가환환   위의 (유한 개 또는 무한 개의) 미분 등급 대수들의 족  이 주어졌을 때, 이들의 곱집합

 
 

은 미분 등급 대수를 이룬다.

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가환환   위의 미분 등급 대수  미분 등급 아이디얼(微分等級ideal, 영어: differential graded ideal)  는 다음 세 조건들을 모두 만족시키는 부분 집합이다.

  •  양쪽 아이디얼이다.
  • 등급 벡터 공간이다. 즉, 임의의  에 대하여,  ,  라면, 모든  에 대하여  이다.
  • 공사슬 복합체이다. 즉, 임의의  에 대하여,  이다.

미분 등급 아이디얼  가 주어졌을 때, 몫 미분 등급 대수(영어: quotient differential graded algebra)  를 정의할 수 있다. 반대로, 임의의 미분 등급 대수의 준동형  은 미분 등급 아이디얼을 이룬다.

코호몰로지편집

미분 등급 대수의 코호몰로지   인 미분 등급 대수를 이룬다. 모든 미분 등급 대수는 스스로의 코호몰로지로 가는 미분 등급 대수 준동형

 

을 갖는다.

또한, 임의의 미분 등급 대수 준동형  은 그 코호몰로지의 미분 등급 대수 준동형

 

을 유도한다.

만약 미분 등급 대수 준동형  에 대하여,  동형 사상이라면,  유사동형(類似同型, 영어: quasi-isomorphism)이라고 한다.

(이름과 달리, 두 미분 등급 대수 사이의 유사동형의 존재는 동치 관계를 이루지 않으며, 동치 관계를 얻기 위해서는 이들을 포함하는 가장 작은 동치 관계를 취해야 한다. 구체적으로, 이는 유사동형들의 지그재그가 된다.)

만약  가 유사동형이라면,  형식적 미분 등급 대수(形式的微分等級代數, 영어: formal differential graded algebra)라고 한다. 형식성은 유사동형에 대하여 불변이다.

성질편집

표수 0인 체   위에서, 다음과 같은 범주들을 생각하자.

  • 자연수 등급의 가환 미분 등급 대수의 범주  
  • 자연수 등급의 미분 등급 대수의 범주  
  • 정수 등급의 가환 미분 등급 대수의 범주  
  • 정수 등급의 미분 등급 대수의 범주  

   위에는 다음과 같은 모형 범주 구조를 줄 수 있다.

 의 경우, 망각 함자  왼쪽 수반 함자를 가지며, 이는 퀼런 수반 함자를 이룬다.

 의 경우, 다음과 같은 모형 구조를 줄 수 있다.

  • 약한 동치는 유사동형이다.
  • 올뭉치는 각 차수마다 전사 함수준동형이다.
  • 쌍대올뭉치는 약한 동치와 올뭉치로서 결정된다.

만약  표수 0이 아닐 경우, 위와 같은 정의들은 모형 범주 구조를 정의하지 못한다.

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매끄러운 다양체   위의 미분 형식  은 가환 미분 등급 대수를 이룬다. 이 경우,  외미분이고, 대수 연산은 쐐기곱이다.

위상 공간  특이 코호몰로지 은 가환 미분 등급 대수를 이룬다. 이 경우  복시테인 준동형이며, 연산은 코호몰로지류의 컵곱이다.

리 대수코쥘 복합체나 기저가 주어진 벡터 공간  텐서 대수   역시 미분 등급 대수의 구조를 줄 수 있다.

외부 링크편집