바이어슈트라스 타원함수

바이어슈트라스 타원함수의 그래프. 인 경우이며, 이 경우 주기는 이다. 흰색은 극점, 검은색은 영점을 나타낸다.

바이어슈트라스 타원함수(Weierstraß楕圓函數, 영어: Weierstrass elliptic function)는 타원함수의 하나다. 타원곡선의 연구에 중요한 역할을 한다. 기호는 .

정의편집

바이어슈트라스 타원함수  는 주기에 대한 격자합으로, 또는 이를 정의하는 미분 방정식으로 정의할 수 있다.

격자합편집

 ,  에 대하여, 바이어슈트라스 타원함수  는 다음과 같다.

 

타원곡선 모듈러스   대신 격자 주기  를 써서 다음과 같이  )를 정의하기도 한다.

 

미분 방정식편집

바이어슈트라스 타원함수는 다음과 같은 미분 방정식을 만족시킨다.

 

여기서  이다.   타원 불변량(영어: elliptic invariant)이라고 불리는 모듈러 형식이며, 이는 주기  와 다음과 같은 관계를 가진다.

 
 

이는 타원곡선의 방정식이다. 즉, 다음과 같은 함수

 
 

를 정의하면, 이는 원환면  로부터 타원곡선  으로 가는, 복소다양체동형사상을 이룬다. 여기서   에 대한 격자

 

이다. 이에 따라서, 복소 타원곡선은 위상수학적으로 원환면임을 알 수 있다.

성질편집

바이어슈트라스 타원함수는 타원함수이므로, 다음과 같은 주기성을 가진다. 임의의  에 대하여,

 

또한, 모듈러 매개변수  에 대해서는 모듈러 함수의 성질을 가진다.

 

또한, 바이어슈트라스 타원함수는 짝함수이며, 그 도함수는 홀함수이다.

 
 

바이어슈트라스 타원함수  타원 곡선  에서 리만 구면  로 가는 2겹 분지 피복을 정의한다. 이 경우, 리만-후르비츠 공식에 따라 총 4개의 분지점이 존재하며, 이들은 타원 곡선의 2차 꼬임 부분군이다. 분지점에서의 값들은 (무한대를 제외하고) 통상적으로  이라고 쓰며, 다음과 같다.

 
 
 
 

덧셈 공식편집

삼각함수야코비 타원함수와 마찬가지로, 바이어슈트라스 타원함수는 다음과 같은 덧셈 공식(영어: addition formula)을 만족시킨다.

 

만약  인 경우, 위 공식에 극한을 취해 다음과 같은 공식을 얻는다.

 

야코비 타원함수와의 관계편집

바이어슈트라스 타원함수는 야코비 타원함수로 나타낼 수 있으며, 다음과 같다.

 

여기서

 
 

이다.

역함수편집

바이어슈트라스 타원함수가 따르는 미분 방정식을 적분하면, 바이어슈트라스 타원함수의 역함수는 다음과 같은 타원적분임을 알 수 있다.

 

이는 리만 구면에서 타원곡선으로 가는 사상으로 볼 수 있으며,  에서 분지점을 갖는다.

역사편집

카를 바이어슈트라스가 1862년 베를린 대학교에서의 타원함수에 대한 강의에서 정의하였다. 이는 기존의 야코비 타원함수들의 복잡한 이론을 하나의 함수만을 사용하여 단순화시킨 것이다.

함께보기편집

참고 문헌편집

외부 링크편집