바이어슈트라스 M-판정법

해석학에서, 바이어슈트라스 M-판정법(영어: Weierstrass M-test)은 함수항 급수균등 수렴충분 조건을 제시하는 수렴 판정법이다. 멱급수를 다룰 때 유용하다.[1]

정의편집

 실수체 또는 복소수체라고 하자.

실숫값 또는 복소숫값 함수항 급수편집

집합  함수열   ( )이 주어졌다고 하자. 또한, 다음을 만족시키는 음이 아닌 실수의 열  이 존재한다고 하자.

  • 임의의   에 대하여,  
  •  

바이어슈트라스 M-판정법에 따르면, 함수항 급수  균등 수렴한다.

증명:

임의의 양의 실수  에 대하여,  의 부분합이 코시 수열이므로, 다음을 만족시키는 자연수  가 존재한다.

임의의  에 대하여,  

삼각 부등식에 따라, 임의의   에 대하여,

 

이다. 균등 수렴에 대한 코시 수렴 판정법에 따라,  균등 수렴한다.

바나흐 공간 값의 함수항 급수편집

보다 일반적으로, 집합   -바나흐 공간  함수열   ( )이 주어졌다고 하자. 또한, 다음을 만족시키는 음이 아닌 실수의 열  이 존재한다고 하자.

  • 임의의   에 대하여,  
  •  

바이어슈트라스 M-판정법에 따르면, 함수항 급수  균등 수렴한다.

증명:

유계 함수  벡터 공간   위에 다음과 같은 상한 노름을 줄 수 있다.

 

이 경우  는 위 노름에 대하여 바나흐 공간을 이룬다 (증명: 완비 거리 공간#완비 공간 값의 유계 함수).

 에 대하여  이며,  이므로,  이다. 즉,  은 (상한 노름에 대하여) 절대 수렴한다. 따라서  은 (상한 노름에 대하여) 수렴한다. 즉, 균등 수렴한다.

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다음과 같은 함수열   ( )을 생각하자.

 

그렇다면

 

이므로 각   에서 최댓값  을 가진다.  이므로,  균등 수렴한다.

역사편집

카를 바이어슈트라스의 이름을 땄다.

각주편집

  1. Tao, Terence (2016). 《Analysis I》. Texts and Readings in Mathematics (영어) 37 3판. Singapore: Springer. doi:10.1007/978-981-10-1789-6. ISBN 978-981-10-1789-6. ISSN 2366-8725. LCCN 2016940817. 

참고 문헌편집