미분기하학 에서 바일 곡률 텐서 (Weyl曲率tensor, 영어 : Weyl curvature tensor )는 리만 다양체 의 곡률 을 나타내는 완전 무대각합 (totally trace-free ) 4-텐서 장이다. 리만 곡률 텐서 에서 리치 곡률 텐서 에 해당하는 성분을 빼 없애고 남은 성분으로 생각할 수 있다.
n 차원 준 리만 다양체
(
M
,
g
)
{\displaystyle (M,g)}
바일 곡률 텐서
W
{\displaystyle W}
텐서장 이며, 다음과 같다.
W
=
Riem
−
1
n
−
2
(
Ric
−
s
n
g
)
∘
g
−
s
2
n
(
n
−
1
)
g
∘
g
{\displaystyle W=\operatorname {Riem} -{\frac {1}{n-2}}\left(\operatorname {Ric} -{\frac {s}{n}}g\right)\circ g-{\frac {s}{2n(n-1)}}g\circ g}
여기서
g
{\displaystyle g}
계량 텐서 ,
Riem
{\displaystyle \operatorname {Riem} }
리만 곡률 텐서 ,
Ric
{\displaystyle \operatorname {Ric} }
리치 곡률 텐서 ,
s
{\displaystyle s}
스칼라 곡률 이다.
∘
{\displaystyle \circ }
영어 : Kulkarni–Nomizu ) 곱으로서, 다음과 같다.
(
h
∘
k
)
(
v
1
,
v
2
,
v
3
,
v
4
)
=
h
(
v
1
,
v
3
)
k
(
v
2
,
v
4
)
+
h
(
v
2
,
v
4
)
k
(
v
1
,
v
3
)
−
h
(
v
1
,
v
4
)
k
(
v
2
,
v
3
)
−
h
(
v
2
,
v
3
)
k
(
v
1
,
v
4
)
{\displaystyle (h\circ k)(v_{1},v_{2},v_{3},v_{4})=h(v_{1},v_{3})k(v_{2},v_{4})+h(v_{2},v_{4})k(v_{1},v_{3})-h(v_{1},v_{4})k(v_{2},v_{3})-h(v_{2},v_{3})k(v_{1},v_{4})}
국소 좌표로 쓰면 다음과 같다. (아인슈타인 표기법 을 쓰자.)
W
a
b
c
d
=
R
a
b
c
d
−
2
n
−
2
(
g
a
[
c
R
d
]
b
−
g
b
[
c
R
d
]
a
)
+
2
(
n
−
1
)
(
n
−
2
)
R
g
a
[
c
g
d
]
b
{\displaystyle W_{abcd}=R_{abcd}-{\frac {2}{n-2}}(g_{a[c}R_{d]b}-g_{b[c}R_{d]a})+{\frac {2}{(n-1)(n-2)}}R~g_{a[c}g_{d]b}}
바일 곡률 텐서는 리만 곡률 텐서 와 마찬가지로 다음과 같은 성질을 가진다.
W
(
u
,
v
)
=
W
(
v
,
u
)
∀
x
∈
M
,
u
,
v
∈
T
x
M
{\displaystyle W(u,v)=W(v,u)\qquad \forall x\in M,\;u,v\in \mathrm {T} _{x}M}
g
(
W
(
u
,
v
)
w
,
z
)
=
−
g
(
W
(
u
,
v
)
z
,
w
)
∀
x
∈
M
,
u
,
v
,
w
,
z
∈
T
x
M
{\displaystyle g(W(u,v)w,z)=-g(W(u,v)z,w)\qquad \forall x\in M,\;u,v,w,z\in \mathrm {T} _{x}M}
W
(
u
,
v
)
w
+
W
(
v
,
w
)
u
+
W
(
w
,
u
)
v
=
0
∀
x
∈
M
,
u
,
v
,
w
∈
T
x
M
{\displaystyle W(u,v)w+W(v,w)u+W(w,u)v=0\qquad \forall x\in M,\;u,v,w\in \mathrm {T} _{x}M}
또한, 바일 곡률 텐서의 대각합은 0이다.
tr
W
(
u
,
−
)
v
=
0
∀
x
∈
M
,
u
,
v
∈
T
x
M
{\displaystyle \operatorname {tr} W(u,-)v=0\qquad \forall x\in M,\;u,v\in \mathrm {T} _{x}M}
이를 지표로 적으면 각각 다음과 같다.
W
a
b
c
d
=
−
W
a
b
d
c
{\displaystyle W^{a}{}_{bcd}=-W^{a}{}_{bdc}}
W
a
b
c
d
=
−
W
b
a
c
d
{\displaystyle W_{abcd}=-W_{bacd}}
W
a
b
c
d
+
W
a
c
d
b
+
W
a
d
b
c
=
0
{\displaystyle W^{a}{}_{bcd}+W^{a}{}_{cdb}+W^{a}{}_{dbc}=0}
W
a
b
a
c
=
0
{\displaystyle W^{a}{}_{bac}=0}
등각 변환
편집
바일 곡률 텐서를 (1,3)차 텐서장으로 나타내자.
W
a
b
c
d
{\displaystyle W^{a}{}_{bcd}}
그렇다면 이 텐서는 바일 변환 (등각 변환)
g
a
b
(
x
)
→
λ
(
x
)
g
a
b
{\displaystyle g_{ab}(x)\to \lambda (x)g_{ab}}
리만 곡률 텐서 전체나 리치 곡률 텐서 , 스칼라 곡률 은 바일 변환에 대하여 복잡하게 변환한다.
3차원이 아닌 리만 다양체
(
M
,
g
)
{\displaystyle (M,g)}
동치 이다.
바일 곡률 텐서가 0이다.
국소적으로, 어떤 스칼라장
ϕ
:
M
→
R
{\displaystyle \phi \colon M\to \mathbb {R} }
리만 계량
(
exp
ϕ
)
g
{\displaystyle (\exp \phi )g}
리만 곡률 텐서 가 0이다. (즉,
M
{\displaystyle M}
등각 평탄 다양체 영어 : conformally flat manifold 이다.) (3차원에서는 임의의 다양체에 대하여 바일 곡률 텐서가 0이다. 그러나 등각 평탄이 아닌 3차원 다양체가 존재한다. 2차원 이하에서는 임의의 다양체에 대하여 바일 곡률 텐서가 0이며, 임의의 다양체가 항상 등각 평탄 다양체이다.)
외부 링크
편집
![{\displaystyle W_{abcd}=R_{abcd}-{\frac {2}{n-2}}(g_{a[c}R_{d]b}-g_{b[c}R_{d]a})+{\frac {2}{(n-1)(n-2)}}R~g_{a[c}g_{d]b}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b9e12cad79ba5f8e9fd3c414ae87fd258ff9724)
