바일 지표 공식

리 군 표현론에서 바일 지표 공식(Weyl指標公式, 영어: Weyl character formula)은 주어진 복소수 기약 표현의 지표를 제시하는 공식이다.

정의 편집

  위의 리 대수  의 유한 차원 표현  지표(指標, 영어: character)는 다음과 같다.

 
 

여기서 행렬 지수 함수를 취하는 것은 리 대수를 리 군으로 대응시키는 것이다.

이제, 다음과 같은 조건이 주어졌다고 하자.

  •  이다.
  •  는 복소수 반단순 리 대수이며, 그 카르탕 부분 대수 이며, 그 바일 군 이다.  양근들의 집합을  라고 하자.
  •  는 복소수 유한 차원 기약 표현이며, 그 최고 무게 이다.

바일 군의 원소  는 카르탕 부분 대수   위에 표현

 

을 가진다. 이 표현의 행렬식  은 바일 군의 원소의 길이(영어: length) 와 관계되어 있다. 바일 군의 원소의 길이는  의 표현을 단순근에 대한 반사들의 합성으로 구현하였을 때 필요한 최소 개의 반사의 수이며, 이 경우

 

이다.

그렇다면, 바일 지표 공식은 다음과 같다.

 

특수한 경우 편집

바일 차원 공식 편집

지표를 리 대수의 원소 0에서 계산한다면, 리 대수 표현의 차원을 얻는다. 바일 지표 공식에  을 대입하면, 분모와 분자 둘 다 0이 되어 0/0을 얻으므로, 대신  극한을 취하고, 로피탈의 정리를 사용하여 바일 차원 공식(Weyl次元公式, 영어: Weyl dimension formula)을 얻을 수 있다.

 

여기서

 

이다.

바일 분모 공식 편집

자명한 1차원 표현의 지표는 항상 1이다. 바일 지표 공식을 자명한 1차원 표현에 대하여 적용하면, 다음과 같은 바일 분모 공식(Weyl分母公式, 영어: Weyl denominator formula)을 얻는다.

 

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가장 간단한 복소수 단순 리 대수 를 생각하자. 카르탕 부분 대수가 1차원이므로, 편의상 복소평면과의 동형을 고를 수 있다. 이 경우, 바일 군은 2차 순환군  이다. 그 근계는 두 개의 근을 가지며, 그 중 하나만이 양근이다. 긴 근의 길이는  이므로, 기본 무게의 길이는  이다.

 의 기약 표현들은 차원에 따라서 완전히 분류되며, 모든 양의 정수에 대하여 그 차원의 기약 표현이 존재한다.  차원 기약 표현의 최고 무게는 기본 무게의  배이다. 따라서,  차원 표현에 바일 지표 공식을 적용하면 다음과 같다.

 

이다.   극한을 취하면, 바일 차원 공식

 

을 얻는다.

역사 편집

헤르만 바일이 발견하였다.[1][2][3]

참고 문헌 편집

  1. Weyl, Hermann (1925). “Theorie der Darstellung kontinuierlicher halb-einfacher Gruppen durch lineare Transformationen I”. 《Mathematische Zeitschrift》 (독일어) 23: 271–309. doi:10.1007/BF01506234. ISSN 0025-5874. 
  2. Weyl, Hermann (1926). “Theorie der Darstellung kontinuierlicher halb-einfacher Gruppen durch lineare Transformationen II”. 《Mathematische Zeitschrift》 (독일어) 24: 328–376. doi:10.1007/BF01216788. ISSN 0025-5874. 
  3. Weyl, Hermann (1926). “Theorie der Darstellung kontinuierlicher halb-einfacher Gruppen durch lineare Transformationen III”. 《Mathematische Zeitschrift》 (독일어) 24: 377–395. doi:10.1007/BF01216789. ISSN 0025-5874. 

외부 링크 편집