반단순 리 대수
리 대수 이론에서, 반단순 리 대수(半單純Lie代數, 영어: semisimple Lie algebra)는 단순 리 대수들의 직합인 리 대수이다.
정의
편집체 위의 리 대수 가 다음 두 조건을 만족시킨다면, 단순 리 대수(單純Lie代數, 영어: simple Lie algebra)라고 한다.[1]:32
의 표수가 0이라고 하고, 가 위의 유한 차원 리 대수라고 하자. 그렇다면 다음 조건들이 서로 동치이며, 이 조건을 만족시키는 리 대수를 반단순 리 대수라고 한다.
- 의 가해(영어: solvable) 아이디얼은 밖에 없다. 즉, 의 근기(영어: radical)가 이다.[1]:32
- 의 아벨 아이디얼은 밖에 없다.
- 는 단순 리 대수들의 직합이다.
- (카르탕 반단순성 조건 영어: Cartan’s criterion for semisimplicity) 의 킬링 형식 는 비퇴화 쌍선형 형식이다.[1]:50, Theorem 1.45
반단순 리 군
편집반단순 리 군(半單純Lie群, 영어: semisimple Lie group)은 그 리 대수가 반단순 리 대수인 연결 리 군이다.[1]:105 마찬가지로, 단순 리 군(單純Lie群, 영어: semisimple Lie group)은 그 리 대수가 단순 리 대수인 연결 리 군이다.
분류
편집복소수체 위의 (유한 차원) 단순 리 대수는 근계 또는 이에 대응하는 딘킨 도표로 분류되며, 이에 따라 , , , , E₆, E₇, E₈, F₄, G₂가 있다. 복소수체 위의 단일 연결 단순 리 군은 단순 리 대수와 일대일 대응하며, 단일 연결이 아닌 리 군은 그 범피복군의 중심의 부분군인 정규 부분군에 대한 몫군이다. 이렇게 유한한 수의 무한한 족과 예외적 대상으로 분류하는 것은 유한 단순군의 분류와 유사하지만, (반)단순 리 대수의 분류는 유한 단순군의 경우보다 훨씬 더 간단하며, 고전적으로 증명할 수 있다.
복소수 단순 리 대수
편집복소수체 위의 반단순 리 대수의 분류는 복소수 단순 리 대수의 분류로부터 귀결된다. 임의의 표수 0의 대수적으로 닫힌 체 위의 반단순 리 대수의 분류는 이와 동일하다.
모든 복소수 단순 리 대수는 다음 가운데 하나와 동형이다.
- , (복소 무대각합(無對角合, traceless) 행렬 대수)
- , (홀수 차원의 복소 반대칭 행렬 대수)
- , (복소 해밀턴 행렬(Hamiltonian matrix) 대수)
- , (짝수 차원의 복소 반대칭 행렬 대수)
- 𝖊6, 𝖊7, 𝖊8
- 𝖋4
- 𝖌2
이 가운데, 처음 네 가지를 고전적(영어: classical), 나머지를 예외적(영어: exceptional)이라고 부른다. 여기서 아래 첨자는 근의 수를 나타낸다.
실수 단순 리 대수
편집대수적으로 닫힌 체가 아닌 체 위의 반단순 리 대수 의 경우, 우선 그 대수적 폐포 위의 대수 를 분류한 뒤, 이를 에서 로 제약시키는 방법을 분류하여야 한다.
실수체 의 경우, 이에 대응되는 복소수 리 대수는 복소화(영어: complexification) 라고 하며, 주어진 복소수 리 대수에 대응되는 실수 리 대수들은 실수 형식(영어: real form)이라고 한다.
실수 단순 리 대수에서 복소수 단순 리 대수로 가는 복소화 사상은 전사 함수지만, 단사 함수는 아니며, 그 원상은 유한하다. 즉 각 단순 복소 단순 리 대수에 대하여 유한개의 실수 단순 리 대수가 대응하고, 모두 알려져 있다.
목록
편집복소수 및 실수 단순 리 대수들은 다음과 같다.
복소수 리 대수 차원 실수 리 대수 로마 숫자 표기 다른 이름 극대 콤팩트 부분 리 대수 An An(−n2−2n) (콤팩트) An(n) (분할) AⅠ An(−n−2) AⅡ , ( ) AⅢ ( ) Bn Bn(−2n2−n) (콤팩트) Bn(n) (분할) BⅠ BⅡ ( ) Cn Cn(−2n2−n) (콤팩트) , Cn(n) (분할) CⅠ CⅡ ( ) Dn Dn(−2n2+n) (콤팩트) Dn(n) (분할) DⅠ DⅡ ( ) Dn(−n) DⅢ E6 78 E6(−78) (콤팩트) E6(6) (분할) EⅠ E6(2) EⅡ E6(−14) EⅢ E6(−26) EⅣ E7 133 E7(−133) (콤팩트) E7(7) (분할) EⅤ E7(−5) EⅥ E7(−25) EⅦ E8 248 E8(−248) (콤팩트) E8(8) (분할) EⅧ E8(−24) EⅨ F4 52 F4(−52) (콤팩트) F4(4) (분할) FⅠ F4(−20) FⅡ G2 14 G2(−14) (콤팩트) G2(2) (분할) GⅠ
위 표에서,
- 은 항상 복소수 리 군의 계수이다.
- 과 같은 표기에서, 킬링 형식의 부호수가 일 때, 이다. 즉, 는 리 대수의 차원 − 2 × 극대 콤팩트 부분 대수의 차원이다. 특히 분할 형식의 경우 이며, 콤팩트 형식의 경우 는 −1 × 리 대수의 차원이다.
위 표에서, 중복되는 것들은 다음이 전부이다.
또한, 는 단순 리 대수가 아니다.
역사
편집복소수 반단순 리 대수는 엘리 카르탕이 1894년에 박사 학위 논문에서 분류하였다.[2] 실수 반단순 리 대수는 펠릭스 루비노비치 간트마헤르(러시아어: Фе́ликс Руви́мович Гантма́хер)가 1939년에 분류하였다.[3]
같이 보기
편집각주
편집- ↑ 가 나 다 라 Knapp, Anthony W. (2002). 《Lie groups beyond an introduction》. Progress in Mathematics (영어) 140 2판. Boston: Birkhäuser. ISBN 0-8176-4259-5. MR 1920389. Zbl 1075.22501.
- ↑ Cartan, Élie (1894). “Sur la structure des groupes de transformations finis et continus” (프랑스어). 파리 대학교 박사 학위 논문. Librairie Nony et Cie. JFM 25.0638.02.
- ↑ Gantmacher, Felix (1939). “On the classification of real simple Lie groups”. 《Математический сборник (новая серия)》 (영어) 5 (2): 217–250. JFM 65.1131.03. MR 2141. Zbl 0022.31503.
외부 링크
편집- “Lie algebra, semi-simple”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
- Weisstein, Eric Wolfgang. “Semisimple lie algebra”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
- Weisstein, Eric Wolfgang. “Simple lie algebra”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
- Weisstein, Eric Wolfgang. “Semisimple Lie group”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
- “Semisimple Lie algebra”. 《nLab》 (영어).
- “Simple Lie algebra”. 《nLab》 (영어).
- “Semisimple Lie group”. 《nLab》 (영어).