방위 양자수

방위 양자수(azimuthal quantum number)는 네 개의 양자수(주 양자수, 방위 양자수, 자기 양자수, 스핀 양자수)중의 하나로 $l$으로 나타낸다. 방위 양자수는 각양자수, 부양자수 혹은 궤도양자수 라고도 한다. 방위 양자수는 각운동량을 나타내는 양자수이며 각운동량도 양자화되어있기 때문에 방위 양자수 또한 정수이다. 방위양자수는 0에서부터 n-1의 값을 가질 수 있다. $l$ 값에 따라서 부껍질이 결정되고 부껍질에서 자기양자수에 따라 확정된 하나의 오비탈로 결정된다. 예를 들어 $n=3$일 때 $l=0,1,2$ 의 값을 가질 수 있는데 $l=0$일 때 3s, $l=1$일 때 3p, $l=2$일 때 3d 부껍질이 된다. 방위양자수는 화학적으로 매우 중요한데 오비탈의 모양을 결정하고 화학결합이나 결합각에 많은 영향을 주기 때문이다.

유도

회전하는 입자의 에너지는 고전적으로 그 각운동량 L를 이용해서 아래와 같이 표현된다.

$E={L^{2} \over 2I}$

이것을 아래의 슈뢰딩거 방정식을 통해서 푼 에너지 식과 비교하면 에너지가 양자화되어 있기 때문에 각운동량 또한 양자화 된다는 사실을 알 수 있다.

$E={l(l+1)h^{2} \over {2I}},(l=0,1,2,3...)$

이것을 식으로 정리하면 다음과 같다.

$L=\hbar {\sqrt {l(l+1)}}(l=0,1,2,3...)$

위의 식은 보어의 가설을 증명하는데 사용되었다. 보어는 각운동량 $L={nh \over 2\pi }$이라는 가설을 설정했다. 보어는 이를 사용하여 궤도의 양자화를 설명하였고, 이를 통해 우리가 아는 보어의 수소 원자 모형이 탄생하였다. 후에 슈뢰딩거가 파동방정식을 통해 각운동량을 구하였고, 아래와 같은 식을 유도하였다.

$L=\hbar {\sqrt {l(l+1)}}$

이는 주양자수 $n$ 대신 ${\sqrt {l(l+1)}}$을 사용하여 양자화를 의미한 것으로 보어의 가설이 옳았다는 것을 의미한다. 슈뢰딩거의 각운동량을 통해 주양자수에 따른 각운동량을 구할 수 있었고 그 결과는 아래와 같다.

$l=0$ , s오비탈 $L=0$
$l=1$ , p오비탈 $L={h{\sqrt {2}}} \over 2\pi$
$l=2$ , d오비탈 $L={h{\sqrt {6}}} \over 2\pi$

이는 $l$이 증가하면 각운동량이 증가함을 의미한다.

외부 링크

• 각 원소에 대한 주 양자수와 방위 양자수를 보여주는 주기율표 애플릿