유한체
F
q
{\displaystyle \mathbb {F} _{q}}
X
→
Spec
F
q
{\displaystyle X\to \operatorname {Spec} \mathbb {F} _{q}}
매끄러운 사영 대수다양체 이라고 하자.
X
{\displaystyle X}
국소 제타 함수
ζ
(
X
,
s
)
=
exp
(
∑
m
=
1
∞
1
m
#
(
X
/
F
q
m
)
q
−
s
m
)
{\displaystyle \zeta (X,s)=\exp \left(\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {1}{m}}\#(X/\mathbb {F} _{q^{m}})q^{-sm}\right)}
여기서
#
(
X
/
F
q
m
)
{\displaystyle \#(X/\mathbb {F} _{q^{m}})}
X
⊗
Spec
F
q
Spec
F
q
2
{\displaystyle X\otimes _{\operatorname {Spec} \mathbb {F} _{q}}\operatorname {Spec} \mathbb {F} _{q^{2}}}
베유 추측 에 따르면, 다음 네 명제들이 성립한다.[1] :450–451
(유리성)
ζ
(
X
,
s
)
{\displaystyle \zeta (X,s)}
q
−
s
{\displaystyle q^{-s}}
유리 함수 이며, 다음과 같은 꼴로 나타낼 수 있다.
∏
i
=
0
2
n
P
i
(
q
−
s
)
(
−
1
)
i
+
1
=
P
1
(
T
)
⋯
P
2
n
−
1
(
T
)
P
0
(
T
)
⋯
P
2
n
(
T
)
{\displaystyle \prod _{i=0}^{2n}P_{i}(q^{-s})^{(-1)^{i+1}}={\frac {P_{1}(T)\dotsb P_{2n-1}(T)}{P_{0}(T)\dotsb P_{2n}(T)}}}
P
i
(
T
)
∈
Z
[
T
]
∀
i
∈
{
0
,
1
,
…
,
2
n
}
{\displaystyle P_{i}(T)\in \mathbb {Z} [T]\qquad \forall i\in \{0,1,\dots ,2n\}}
P
0
(
T
)
=
1
−
T
{\displaystyle P_{0}(T)=1-T}
P
2
n
(
T
)
=
1
−
q
n
T
{\displaystyle P_{2n}(T)=1-q^{n}T}
P
i
(
T
)
=
∏
j
=
1
deg
P
i
(
1
−
α
i
j
T
)
,
(
α
i
j
∈
C
)
{\displaystyle P_{i}(T)=\prod _{j=1}^{\deg P_{i}}(1-\alpha _{ij}T),\quad (\alpha _{ij}\in \mathbb {C} )}
(함수 방정식) 어떤 정수
E
{\displaystyle E}
ζ
(
X
,
n
−
s
)
=
±
q
n
E
2
−
E
s
ζ
(
X
,
s
)
{\displaystyle \zeta (X,n-s)=\pm q^{{\frac {nE}{2}}-Es}\zeta (X,s)}
(리만 가설 ) 모든
1
≤
i
≤
2
n
−
1
{\displaystyle 1\leq i\leq 2n-1}
1
≤
j
≤
deg
P
i
{\displaystyle 1\leq j\leq \deg P_{i}}
|
α
i
,
j
|
=
q
i
/
2
{\displaystyle |\alpha _{i,j}|=q_{i}/2}
(베티 수 ) 어떤 대수적 수체
K
⊂
C
{\displaystyle K\subset \mathbb {C} }
대수적 정수환
O
K
{\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}
소 아이디얼
p
∈
Spec
O
K
{\displaystyle {\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spec} {\mathcal {O}}_{K}}
O
K
/
p
≅
F
q
{\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}/{\mathfrak {p}}\cong \mathbb {F} _{q}}
X
~
→
Spec
O
K
{\displaystyle {\tilde {X}}\to \operatorname {Spec} {\mathcal {O}}_{K}}
X
~
⊗
Spec
O
K
Spec
F
q
{\displaystyle {\tilde {X}}\otimes _{\operatorname {Spec} {\mathcal {O}}_{K}}\operatorname {Spec} \mathbb {F} _{q}}
X
{\displaystyle X}
F
q
{\displaystyle \mathbb {F} _{q}}
deg
i
P
i
=
b
i
(
X
~
⊗
Spec
O
K
Spec
C
)
{\displaystyle \deg _{i}P_{i}=b_{i}({\tilde {X}}\otimes _{\operatorname {Spec} {\mathcal {O}}_{K}}\operatorname {Spec} \mathbb {C} )}
b
i
{\displaystyle b_{i}}
X
~
⊗
Spec
O
K
Spec
C
{\displaystyle {\tilde {X}}\otimes _{\operatorname {Spec} {\mathcal {O}}_{K}}\operatorname {Spec} \mathbb {C} }
특이 코호몰로지 에 대한 베티 수 이다. 또한,
E
{\displaystyle E}
특이 코호몰로지 에 대한 오일러 지표 이다.
앙드레 베유 가 1949년에 추측하였다. 유리성 추측은 1960년에 버나드 모리스 드워크(영어 : Bernard Morris Dwork )가 증명하였고, 함수 방정식은 알렉산더 그로텐디크 가 1965년에 증명하였고, 리만 가설 은 피에르 들리뉴 가 1974년에 증명하였다. 이 공로로 들리뉴는 필즈상 을 수상하였다.
참고 문헌
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외부 링크
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![{\displaystyle P_{i}(T)\in \mathbb {Z} [T]\qquad \forall i\in \{0,1,\dots ,2n\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ced90cd920f49f00572d9127923b6bf163c468f)
