베티 수

베티 수(영어: Betti number)는 위상 공간의 호몰로지 군의 계수다. 공간의 위상적 특성을 나타내는 수열의 하나다. 기호는 $b_{k}$며, 0이거나, 양의 정수이거나, $\infty$이다. 좀 더 다루기 쉬운 (콤팩트 공간 또는 CW 복합체 등) 경우에는 베티 수는 모두 유한하며, 어느 $k_{0}$부터 $k\geq k_{0}$에 대하여 $b_{k}=0$이다.

정의

위상 공간 $X$, 음이 아닌 정수 $k$, 체 $\mathbb {F}$가 주어지면, $k$번째 베티 수 $b_{k}(X,\mathbb {F} )$는 $k$번째 특이 호몰로지 공간 $H_{k}(X;\mathbb {F} )$의 ($\mathbb {F}$에 대한 벡터 공간으로서의) 차원이다. 식으로 쓰면 다음과 같다.

$b_{k}(X,\mathbb {F} )=\dim H_{k}(X;\mathbb {F} )$

일반적으로, $\mathbb {F}$가 주어지지 않았을 때에는 $\mathbb {F} =\mathbb {Q}$ (유리수)를 의미하는 것이다. 유리수에 대한 베티 수는 정수에 대한 호몰로지 공간 $H_{k}(X;\mathbb {Z} )$의 계수와 같다. $\mathbb {F}$의 표수가 0이면 베티 수는 항상 유리수에 대한 베티 수와 같지만, 표수가 유한한 경우 달라질 수 있다. 만약 $k$가 주어지지 않으면 암묵적으로 $k=1$이다.

콤팩트 공간이나 CW 복합체의 베티 수는 어떤 유한한 $k_{0}$ 이상으로는 $k\geq k_{0}$에 대하여 $b_{k}=0$이다. 따라서 베티 수를 생성함수로 나타낼 수 있는데, 이를 푸앵카레 다항식(영어: Poincaré polynomial)이라 한다. 즉 푸앵카레 다항식 $P(z)$는 다음을 만족한다.

$P(z)=\sum _{k=0}^{\infty }b_{k}z^{k}$

무한차원에서는 이를 일반화하여 푸앵카레 급수(영어: Poincaré series)를 정의할 수 있다.

성질

거칠게 말해서, $k>0$일 때 베티 수 $b_{k}$는 $k$차원 "구멍"의 수를 나타내는 것으로 해석할 수 있다. 예를 들어 구 $\mathbb {S} ^{n}$의 베티 수는 $k\in \{0,n\}$일 때에만 1이고 나머지 경우엔 0이다.

유한한 CW 복합체 $K$의 경우 오일러 지표와 베티 수는 다음과 같은 관계를 가진다.

임의의 체 $\mathbb {F}$에 대하여, $\chi (K)=\sum _{i=0}^{\infty }(-1)^{i}b_{i}(K,\mathbb {F} )$

여기서 $\chi (K)$는 오일러 지표이다.

임의의 (베티 수열이 유한한) 위상 공간 $X$와 $Y$에 대하여 그 곱공간 $X\times Y$의 푸앵카레 다항식은 각 공간의 푸앵카레 다항식의 곱이다.

$P_{X\times Y}(z)=P_{X}(z)P_{Y}(z)$

마찬가지로,$X$와 $Y$의 분리합집합 $X\sqcup Y$의 푸앵카레 다항식은 각 공간의 푸앵카레 다항식의 합이다.

$P_{X\sqcup Y}(z)=P_{X}(z)+P_{Y}(z)$

닫힌 n차원 가향 다양체 $X$의 경우, 베티 수는 다음 관계를 만족한다.

$b_{k}(X)=b_{n-k}(X)$

이는 푸앵카레 쌍대성 $H^{k}=H_{n-k}$으로부터 유도할 수 있다.

예

$n$차원 초구 $\mathbb {S} ^{n}$의 푸앵카레 다항식은 다음과 같다.

$P_{\mathbb {S} ^{n}}(z)=1+z^{n}$

$n$차원 원환면 $\mathbb {T} ^{n}$의 푸앵카레 다항식은 원의 푸앵카레 다항식으로부터 다음과 같다.

$P_{\mathbb {S} ^{n}}(z)=(1+z)^{n}$

$n$차원 실수 사영 공간 $\mathbb {RP} ^{n}$의 푸앵카레 다항식은 다음과 같다.

$P_{\mathbb {RP} ^{n}}(z)={\begin{cases}1&2\mid n\\1+x^{n}&2\nmid n\end{cases}}$

무한 차원 실수 사영 공간 $\mathbb {RP} ^{\infty }$의 푸앵카레 다항식은 다음과 같다.

$P_{\mathbb {RP} ^{n}}(z)=1$

$2n$차원 복소수 사영 공간 $\mathbb {CP} ^{n}$의 푸앵카레 다항식은 다음과 같다.

$P_{\mathbb {cP} ^{n}}(z)=1+z^{2}+\cdots +z^{2n}={\frac {1-z^{2n+2}}{1-z^{2}}}$

무한 차원 복소수 사영 공간 $\mathbb {CP} ^{\infty }$의 푸앵카레 다항식은 다음과 같다.

$P_{\mathbb {CP} ^{n}}(z)=1+z^{2}+z^{4}+\cdots ={\frac {1}{1-z^{2}}}$

종수 $g$의 콤팩트 유향 곡면의 푸앵카레 다항식은 다음과 같다.

$P_{\Sigma _{g}}(z)=1+2gz+z^{2}$

K3 곡면의 푸앵카레 다항식은 다음과 같다.

$P_{\text{K3}}(z)=1+22z^{2}+z^{4}$

리 군

콤팩트 단일 연결 단순 리 군 $G$의 푸앵카레 다항식들은 다음과 같은 꼴이다.

$P_{G}(z)=\prod _{n\in N(G)}(1+z^{n})$

여기서 $N(G)$는 원시 지수(영어: primitive exponent)라고 하며, 다음과 같다.

단순 리 군	원시 지수	OEIS
$\operatorname {SU} (n+1)$	$3,5,\dots ,2n+1$
$\operatorname {Spin} (2n+1)$	$3,7,\dots ,4n-1$
$\operatorname {USp} (2n)$	$3,7,\dots ,4n-1$
$\operatorname {Spin} (2n)$	$3,7,\dots ,4n-5,2n-1$
$G_{2}$	3, 11
$F_{4}$	3, 11, 15, 23
$E_{6}$	3, 9, 11, 15, 17, 23	(OEIS의 수열 A106373)
$E_{7}$	3, 11, 15, 19, 23, 27, 35	(OEIS의 수열 A106374)
$E_{8}$	3, 15, 23, 27, 35, 39, 47, 59	(OEIS의 수열 A106403)

역사

앙리 푸앵카레가 엔리코 베티의 이름을 따서 명명하였다.

외부 링크

• “Betti number”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Betti number”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Betti number”. 《nLab》 (영어).