위상 공간
X
{\displaystyle X}
k
{\displaystyle k}
체
F
{\displaystyle \mathbb {F} }
k
{\displaystyle k}
베티 수
b
k
(
X
,
F
)
{\displaystyle b_{k}(X,\mathbb {F} )}
k
{\displaystyle k}
특이 호몰로지 공간
H
k
(
X
;
F
)
{\displaystyle H_{k}(X;\mathbb {F} )}
F
{\displaystyle \mathbb {F} }
벡터 공간 으로서의) 차원이다. 식으로 쓰면 다음과 같다.
b
k
(
X
,
F
)
=
dim
H
k
(
X
;
F
)
{\displaystyle b_{k}(X,\mathbb {F} )=\dim H_{k}(X;\mathbb {F} )}
일반적으로,
F
{\displaystyle \mathbb {F} }
F
=
Q
{\displaystyle \mathbb {F} =\mathbb {Q} }
유리수 )를 의미하는 것이다. 유리수에 대한 베티 수는 정수에 대한 호몰로지 공간
H
k
(
X
;
Z
)
{\displaystyle H_{k}(X;\mathbb {Z} )}
계수 와 같다.
F
{\displaystyle \mathbb {F} }
표수 가 0이면 베티 수는 항상 유리수에 대한 베티 수와 같지만, 표수가 유한한 경우 달라질 수 있다. 만약
k
{\displaystyle k}
k
=
1
{\displaystyle k=1}
콤팩트 공간 이나 CW 복합체 의 베티 수는 어떤 유한한
k
0
{\displaystyle k_{0}}
k
≥
k
0
{\displaystyle k\geq k_{0}}
b
k
=
0
{\displaystyle b_{k}=0}
생성함수 로 나타낼 수 있는데, 이를 푸앵카레 다항식 (영어 : Poincaré polynomial )이라 한다. 즉 푸앵카레 다항식
P
(
z
)
{\displaystyle P(z)}
P
(
z
)
=
∑
k
=
0
∞
b
k
z
k
{\displaystyle P(z)=\sum _{k=0}^{\infty }b_{k}z^{k}}
무한차원에서는 이를 일반화하여 푸앵카레 급수 (영어 : Poincaré series )를 정의할 수 있다.
n
{\displaystyle n}
초구
S
n
{\displaystyle \mathbb {S} ^{n}}
P
S
n
(
z
)
=
1
+
z
n
{\displaystyle P_{\mathbb {S} ^{n}}(z)=1+z^{n}}
n
{\displaystyle n}
원환면
T
n
{\displaystyle \mathbb {T} ^{n}}
P
S
n
(
z
)
=
(
1
+
z
)
n
{\displaystyle P_{\mathbb {S} ^{n}}(z)=(1+z)^{n}}
n
{\displaystyle n}
실수 사영 공간
R
P
n
{\displaystyle \mathbb {RP} ^{n}}
P
R
P
n
(
z
)
=
{
1
2
∣
n
1
+
x
n
2
∤
n
{\displaystyle P_{\mathbb {RP} ^{n}}(z)={\begin{cases}1&2\mid n\\1+x^{n}&2\nmid n\end{cases}}}
무한 차원 실수 사영 공간
R
P
∞
{\displaystyle \mathbb {RP} ^{\infty }}
P
R
P
n
(
z
)
=
1
{\displaystyle P_{\mathbb {RP} ^{n}}(z)=1}
2
n
{\displaystyle 2n}
복소수 사영 공간
C
P
n
{\displaystyle \mathbb {CP} ^{n}}
P
c
P
n
(
z
)
=
1
+
z
2
+
⋯
+
z
2
n
=
1
−
z
2
n
+
2
1
−
z
2
{\displaystyle P_{\mathbb {cP} ^{n}}(z)=1+z^{2}+\cdots +z^{2n}={\frac {1-z^{2n+2}}{1-z^{2}}}}
무한 차원 복소수 사영 공간
C
P
∞
{\displaystyle \mathbb {CP} ^{\infty }}
P
C
P
n
(
z
)
=
1
+
z
2
+
z
4
+
⋯
=
1
1
−
z
2
{\displaystyle P_{\mathbb {CP} ^{n}}(z)=1+z^{2}+z^{4}+\cdots ={\frac {1}{1-z^{2}}}}
종수
g
{\displaystyle g}
곡면 의 푸앵카레 다항식은 다음과 같다.
P
Σ
g
(
z
)
=
1
+
2
g
z
+
z
2
{\displaystyle P_{\Sigma _{g}}(z)=1+2gz+z^{2}}
K3 곡면 의 푸앵카레 다항식은 다음과 같다.
P
K3
(
z
)
=
1
+
22
z
2
+
z
4
{\displaystyle P_{\text{K3}}(z)=1+22z^{2}+z^{4}}
콤팩트 단일 연결 단순 리 군
G
{\displaystyle G}
P
G
(
z
)
=
∏
n
∈
N
(
G
)
(
1
+
z
n
)
{\displaystyle P_{G}(z)=\prod _{n\in N(G)}(1+z^{n})}
여기서
N
(
G
)
{\displaystyle N(G)}
원시 지수 (영어 : primitive exponent )라고 하며, 다음과 같다.
단순 리 군
원시 지수
OEIS
SU
(
n
+
1
)
{\displaystyle \operatorname {SU} (n+1)}
3
,
5
,
…
,
2
n
+
1
{\displaystyle 3,5,\dots ,2n+1}
Spin
(
2
n
+
1
)
{\displaystyle \operatorname {Spin} (2n+1)}
3
,
7
,
…
,
4
n
−
1
{\displaystyle 3,7,\dots ,4n-1}
USp
(
2
n
)
{\displaystyle \operatorname {USp} (2n)}
3
,
7
,
…
,
4
n
−
1
{\displaystyle 3,7,\dots ,4n-1}
Spin
(
2
n
)
{\displaystyle \operatorname {Spin} (2n)}
3
,
7
,
…
,
4
n
−
5
,
2
n
−
1
{\displaystyle 3,7,\dots ,4n-5,2n-1}
G
2
{\displaystyle G_{2}}
3, 11
F
4
{\displaystyle F_{4}}
3, 11, 15, 23
E
6
{\displaystyle E_{6}}
3, 9, 11, 15, 17, 23
(OEIS 의 수열 A106373 )
E
7
{\displaystyle E_{7}}
3, 11, 15, 19, 23, 27, 35
(OEIS 의 수열 A106374 )
E
8
{\displaystyle E_{8}}
3, 15, 23, 27, 35, 39, 47, 59
(OEIS 의 수열 A106403 )
