벡터 값 미분 형식

미분기하학에서, 벡터 값 미분 형식(vector값微分形式, 영어: vector-valued differential form)의 개념은 미분 형식의 개념의 일종의 일반화이다. 벡터 값 미분 형식은 미분 형식 다발과 임의의 벡터 다발과의 텐서곱 다발의 단면이며, 일종의 "뒤틀린 미분 형식"으로 여겨질 수 있다. 그 위에는 당김쐐기곱이 정의되지만, 일반적으로 외미분은 정의되지 않는다.

정의편집

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

그렇다면,   위의  값 미분 형식들의 벡터 다발은 다음과 같다.

 

즉,  값의  차 미분 형식은 다음 단면 공간의 원소이다.

 

특히,  이며, 또한 자명한 벡터 다발  에 대하여  이다.

만약  가 자명한 벡터 다발일 경우, 보통   로도 표기한다.

연산편집

당김편집

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

  • 매끄러운 다양체   
  • 매끄러운 함수  
  •   위의 매끄러운 벡터 다발  
  •   위의,  값의  차 미분 형식  

그렇다면,  의,  에 대한 당김

 

를 자연스럽게 정의할 수 있다.

쐐기곱편집

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

  • 매끄러운 다양체  
  •   위의 두 매끄러운 벡터 다발  ,  
  •   위의,  값의  차 미분 형식  
  •   위의,  값의  차 미분 형식  

그렇다면,   쐐기곱

 

을 정의할 수 있다.

리 대수 쐐기곱편집

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

  • 매끄러운 다양체  
  •   위의 매끄러운 벡터 다발  . 또한,  의 각 올들이 단순히 실수 벡터 공간이 아니라, 실수 리 대수  의 구조를 갖춘다고 하자.
  •  값의  차 미분 형식  
  •  값의  차 미분 형식  

그렇다면, 이 경우 위의 쐐기곱과, 리 괄호를 동시에 적용한 연산

 

를 정의할 수 있다. 이 경우,

 

가 성립한다.

외미분편집

일반적으로, 벡터 값 미분 형식의 경우 (벡터 다발이 자명하지 않다면) 외미분을 정의할 수 없다. 물론, 자명한 벡터 다발의 경우 자명하게 외미분이 정의된다.

보다 일반적으로, 벡터 다발에 평탄한 (즉, 곡률이 0인) 코쥘 접속이 주어진다면 그 위에 일종의 외미분을 정의할 수 있다.

외부 링크편집