보건 도표

리 군론에서, 보건 도표(Vogan圖表, 영어: Vogan diagram 보건 다이어그램[*])는 실수 반단순 리 대수에 대응되는 일종의 그래프이다.[1] 복소수 반단순 리 대수를 분류하는 딘킨 도표에 데이터를 추가한 것이다. 구체적으로, 일부 꼭짓점은 검게 칠해져 있으며, 일부 흰 꼭짓점의 쌍은 선으로 이어져 있다.

정의편집

다음이 주어졌다고 하자.

  • 실수 반단순 리 대수  . 그 복소화를  로 표기하자.
  •  의 카르탕 대합  . 이에 따라 카르탕 분해  를 정의할 수 있다.
  •  -안정 극대 콤팩트 카르탕 부분 대수  와 그 복소화  
  •  근계   속의, 양근의 선택  . 또한, 이에 정의되는 전순서 아래 항상   보다 먼저 등장한다고 하자.

그렇다면,    위에 작용하며, 이는 크기 1 또는 2의 궤도들을 정의한다. 이 경우,

  • 허수 단순근들은 크기 1의 궤도를 갖는다 ( 의 작용의 고정점이다).
  •  의 선택에 따라 실수 단순근은 존재하지 않는다.
  • 복소수 단순근들은 크기 2의 궤도를 갖는다.

이 데이터에 대응되는 보건 도표는 다음과 같은 데이터로 구성된다.

  •  딘킨 도표  . 이는  인 유한 그래프이며, 각 변에는 양의 정수 무게  가 주어져 있으며, 이 무게가 양수인 변에는 방향이 주어져 있다.
  •  의,  에 대한 궤도들로의 분할. 흔히, 크기 2의 궤도의 경우 두 꼭짓점들을 선으로 이으며, 크기 1의 궤도는 따로 표시하지 않는다.
  •  에 대한 크기 1의 궤도에 대하여, 콤팩트 근인지 여부. 흔히, 비콤팩트 근을 검게 칠하고, 콤팩트 근을 희게 칠한다.

추상적 보건 도표편집

추상적 보건 도표는 다음과 같은 데이터로 주어진다.

  • 딘킨 도표  
  •   위의,   작용
  •  의 고정점 가운데, 특별한 부분 집합 (“검은 꼭짓점”).

모든 추상 보건 도표는 항상 실수 반단순 리 대수의 보건 도표로 실현될 수 있다.[1]:403, Theorem 6.88

성질편집

서로 다른 보건 도표가 같은 실수 반단순 리 대수에 대응될 수 있으며, 이 경우 두 보건 도표가 서로 동치라고 하자. 임의의 보건 도표에 대하여, 이와 동치이며, 하나 이하의 검은 꼭짓점만을 갖는 보건 도표를 찾을 수 있다.[1]:409, Theorem 6.96

아무 꼭짓점이 칠해지지 않으며,  의 작용이 자명한 경우, 이에 대응되는 실수 반단순 리 대수는 콤팩트 형태이다.

편집

  딘킨 도표를 생각하자.

 

각 꼭짓점에 대하여, 이를 칠하면 얻어지는 실수 리 대수는 다음과 같다.

 

마찬가지로,  에서,  가 자명하지 않게 작용한다고 하자.

 

이는  에 대응한다.

역사편집

미국의 수학자 데이비드 알렉산더 보건(영어: David Alexander Vogan, 1954~)이 도입하였다.

참고 문헌편집

  1. Knapp, Anthony W. (2002). 《Lie groups beyond an introduction》. Progress in Mathematics (영어) 140 2판. Boston: Birkhäuser. ISBN 0-8176-4259-5. MR 1920389. Zbl 1075.22501.