보편 완비 가측 공간

측도론에서, 가측 공간 위의 보편 완비 가측 공간(普遍完備可測空間, 영어: universally complete measurable space)은 모든 시그마 유한 완비화에 대하여 가측 집합이 되는 부분 집합들만을 가측 집합으로 삼는 가측 공간이다.

정의

측도 공간 $(X,\Sigma ,\mu )$이 다음 조건을 만족시킨다면, 시그마 유한 측도 공간(영어: sigma-finite measure space)이라고 한다.

• $\textstyle X=\bigcup {\mathcal {S}}$인 가산 집합 ${\mathcal {S}}\subseteq \{S\in \Sigma \colon \mu (S)<\infty \}$가 존재한다.

가측 공간 $(X,\Sigma )$ 위의 시그마 유한 측도들의 집합을 $\operatorname {\sigma -finMeas} (X,\Sigma )$라고 표기하고, $(X,\Sigma )$ 위의 확률 측도들의 집합을 $\operatorname {probMeas} (X,\Sigma )$라고 표기하자. 그렇다면, 집합족 $\Sigma ^{\text{univ}}$를 다음과 같이 정의하자.

$\Sigma ^{\text{univ}}=\bigcap _{\mu \in \operatorname {probMeas} (X,\Sigma )}{\bar {\Sigma }}_{\mu }=\bigcap _{\mu \in \operatorname {\sigma -finMeas} (X,\Sigma )}{\bar {\Sigma }}_{\mu }$

이다. 여기서 ${\bar {\Sigma }}_{\mu }$는 측도 $\mu$에 대한 $\Sigma$의 완비화이다.

두 항의 일치의 증명:

시그마 유한 완비 측도 공간 $(X,\Sigma ,\mu )$에 대하여, 같은 가측 집합들과 영집합들을 갖는 확률 공간 구조 $(X,\Sigma ,\mu '')$를 구성하면 족하다.

시그마 유한 조건의 정의에 따라

$X=\bigcup _{i=0}^{\infty }S_{i}$

$\forall i\in \mathbb {N} \colon (S_{i}\in \Sigma \land \mu (S_{i})<\infty )$

라고 하자. 그렇다면,

$S_{i}'=S_{i}\setminus (S_{0}\cup S_{1}\cup \cdots \cup S_{i-1})$

를 정의하고, 또한 $\Sigma$ 위에 다음과 같은 두 측도를 정의하자.^{:524, §4.6}

$\mu '(A)=\sum _{i=0}^{\infty }2^{-i}{\frac {\mu (A\cap S'_{i})}{\mu (S'_{i})+1}}\qquad \forall A\in \Sigma$

$\mu ''(A)={\frac {\mu '(A)}{\mu '(X)}}\qquad \forall A\in \Sigma$

그렇다면, $(X,\Sigma ,\mu '')$는 확률 공간을 이룬다. 또한,

$\forall A\in \Sigma \colon \mu (A)=0\iff \mu ''(A)=0$

인 것은 쉽게 확인할 수 있다.

$\Sigma ^{\text{univ}}$의 원소를 $\Sigma$-보편 가측 집합($\Sigma$-普遍可測集合, 영어: $\Sigma$-universally measurable set)이라고 한다.^{:155, §21.D} $\Sigma ^{\text{univ}}$ 역시 $X$ 위의 가측 공간 구조를 이루며, $(X,\Sigma ^{\text{univ}})$를 $(X,\Sigma )$의 보편 완비화(普遍完備化, 영어: universal completion)라고 한다.^{:526–527, §4.6} 만약 $\Sigma =\Sigma ^{\text{univ}}$라면, $(X,\Sigma )$를 보편 완비 가측 공간이라고 한다.

성질

만약 ZFC가 무모순적이라면, ZFC + ‘실수선의 보렐 가측 공간은 $2^{\aleph _{0}}$ 개의 보편 가측 집합들을 갖는다’도 역시 무모순적이다.

만약 ZFC가 무모순적이라면, ZFC + ‘실수선의 보렐 가측 공간은 준열린집합이 아닌 보편 가측 집합들을 갖는다’도 역시 무모순적이다.^:21

예

유클리드 공간의 보렐 가측 공간 위의 르베그 측도는 시그마 유한 완비 측도이다. 따라서, 모든 보편 가측 집합은 르베그 가측 집합이나, 그 역은 성립하지 않는다.

폴란드 공간의 보렐 가측 공간 위의 모든 해석적 집합은 보편 가측 집합이다.^{:155, Theorem 21.10} 사영 결정 공리를 가정한다면, 폴란드 공간의 보렐 가측 공간 위의 모든 사영 집합은 보편 가측 집합이다.^{:326, §38.17(ii)}

외부 링크

• “Universally measurable”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.