보형 형식

수학에서 보형 형식(保型形式) 또는 자기동형 형식(自己同型形式, 영어: automorphic form)은 고전적인 모듈러 형식을 임의의 리 군 및 그 이산 부분군으로 일반화시킨 개념이다. 즉, 어떤 이산 부분군의 작용에 대하여 불변인 해석 함수이다. 보형 형식의 이론은 랭글랜즈 프로그램을 통해 현대 수론의 핵심적인 부분을 차지한다.

정의

임의의 리 군 $G$ 은 이와사와 분해(영어: Iwasawa decomposition)를 통해 멱영군 $N$ , 아벨 군 $A$ , 콤팩트 반단순 군 $K$ 로 분해될 수 있다. 즉, 임의의 원소 $g\in G$ 는 이와사와 분해에 따라

g=n(g)a(g)k(g)

n(g)\in N,\;a(g)\in A,\;k(g)\in K

와 같이 나타낼 수 있다.

리 군 $G$ 가 이산 부분군 $\Gamma \subset G$ 를 갖는다고 하자. $G$ 위의, $\Gamma$ 에 대한 보형 형식 $f\colon G\to \mathbb {C}$ 는 다음 네 조건들을 만족시키는 매끄러운 함수이다.

모든 $\gamma \in \Gamma$ , $g\in G$ 에 대하여, $f(\gamma g)=f(g)$
( $K$ -유한성) $f$ 를 $K$ 의 원소에 대하여 (우측) 병진이동시켜 얻은 함수들의 벡터 공간이 유한 차원이다.
( ${\mathcal {Z}}$ -유한성) ${\mathcal {Z}}$ 가 $G$ 의 리 대수 ${\mathfrak {g}}$ 의 보편 포락 대수 $U({\mathfrak {g}})$ 의 중심이라고 하자. 그렇다면, $f$ 를 상쇄시키는, ${\mathcal {Z}}$ 의 유한 여차원 아이디얼 $J\subset {\mathcal {Z}}$ 이 존재한다.
(첨점에서의 완만한 성장 영어: moderate growth at cusp) 첨점 근처에서, $|f(g)|=O(\Vert a(g)\Vert ^{\lambda })$ 인 $\lambda \in \mathbb {R}$ 가 존재한다.

이 네 조건 가운데, 첫 번째를 제외하고 나머지는 기술적인 조건이다.

고전적 정의와의 관계

고전적으로, 보형 형식은 복소 공간 위의 유리형 함수로 정의되었고, 이 경우 변환 법칙에 보형 인자(영어: factor of automorphy) $j$ 라는 인자가 포함되었다. 즉,

f(\gamma \cdot z)=j(\gamma ,z)^{-m}f(x)

의 꼴이다. 예를 들어, 고전적 모듈러 형식은 상반평면 $\mathbb {H}$ 위에, 모듈러 군 $\Gamma =\operatorname {PSL} (2,\mathbb {Z} )$ 에 대하여 변환하는 함수이다.

현대적으로, 이는 $G=\operatorname {SL} (2,\mathbb {R} )$ 의 부분군 $K=\operatorname {SO} (2,\mathbb {R} )$ 에 대한 잉여류 공간

\operatorname {SL} (2,\mathbb {R} )/\operatorname {SO} (2,\mathbb {R} )\cong \mathbb {H}

위의 함수로 재해석된다.

역사

보형 형식은 고전적인 개념인 모듈러 형식의 일반화이다. 고전적인 모듈러 형식은 힐베르트 모듈러 형식·지겔 모듈러 형식 등으로 일반화되었다. 일반적인 리 군에 대한 오늘날의 추상적인 정의는 일리야 퍄테츠키샤피로 등에 의하여 1960년대에 완성되었다. 이후 로버트 랭글랜즈가 랭글랜즈 프로그램을 통해 이를 대수적 수론의 갈루아 군과 연결시키면서, 현재까지 수론의 주요 연구 대상이 되고 있다.

같이 보기

참고 문헌

Bump, Daniel (1997). 《Automorphic Forms and Representations》. Cambridge Studies in Advanced Mathematics (영어) 55. Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9780511609572. ISBN 9780521550987.
Jacquet, Hervé; Robert P. Langlands (1970). 《Automorphic forms on GL(2)》 (PDF). Lecture Notes in Mathematics (영어) 114. Springer. doi:10.1007/BFb0058988. ISBN 978-3-540-04903-6. MR 0401654.
Iwaniec, Henryk (1997). 《Topics in Classical Automorphic Forms》. Graduate Studies in Mathematics (영어) 17. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-0777-4.

외부 링크

“Automorphic form”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
“Automorphic function”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
Brubaker, Ben (2010). “18.785 lecture notes” (PDF) (영어). Massachusetts Institute of Technology.
Martin, Kimball (2014년 3월 4일). “Automorphic forms online references” (영어).