주 메뉴 열기

복소수 미분 형식

(복소 미분 형식에서 넘어옴)

미분기하학에서, 복소수 미분 형식(複素數微分形式, 영어: complex differential form)은 복소다양체 위에 정의한 미분 형식이다. (실수) 매끄러운 다양체 위의 미분 형식과는 달리, 정칙 형식 · 돌보 코호몰로지 등의 개념을 정의할 수 있다.

정의편집

 차원의 복소다양체  을 생각하자. 그렇다면, 그 접다발의 복소화  는 복소구조  ,  고윳값  에 따른 고유 공간

 

으로 분해되며, 이들은 각각 복소수 벡터 다발을 이룬다. 이 가운데  은 항상 정칙 벡터 다발이지만,  은 일반적으로 그렇지 않다.

이들에 각각 올별 복소수 쌍대 공간을 취하면, 복소수 벡터 다발

 
 

을 얻는다. 이들의 쐐기곱을 취하여 복소수 벡터 다발

 

을 취할 수 있다. (만약  이라면 이는 역시 정칙 벡터 다발이다.) 이 다발의 매끄러운 단면 차 복소수 미분 형식이라고 한다.

 정칙 벡터 다발이므로, 정칙 단면의 개념을 정의할 수 있다.  의 정칙 단면을  정칙 미분 형식(正則微分形式, 영어: holomorphic differential form)이라고 한다.

보다 일반적으로, 복소다양체   위의 정칙 벡터 다발  이 주어졌다고 하자. 그렇다면,  값의 복소수 미분 형식(영어:  -valued complex differential form)을  매끄러운 단면으로 정의할 수 있다. 마찬가지로,  값의  차 정칙 미분 형식정칙 벡터 다발  의 정칙 단면이다.

국소 좌표계로의 표현편집

국소적으로,  의 임의의 점의 근방  에 복소수 좌표   ( )를 잡을 수 있다. 이에 따라 실수 다양체와 마찬가지로 국소적으로 복소수 미분 형식

 
 

를 정의할 수 있다. 그렇다면, 일반적인 복소수 미분 형식은 국소적으로

 
 

꼴의 형식을 취한다. 여기서    개,   개 있으면 이를  -형식으로 부른다.

국소 좌표계로는 p차 정칙 미분 형식  는 다음과 같이 쓸 수 있다.

 

여기서  정칙 함수다. 즉,  차 정칙 미분 형식은

 

을 만족하는  차 복소수 미분 형식  이다.

성질편집

실수 미분 형식과의 관계편집

복소다양체  복소구조를 잊으면 매끄러운 다양체이므로, 그 위에 (실수) 미분 형식을 정의할 수 있다. 이 경우

 

이므로,

 

이 된다.

이 경우, 외미분

 

은 돌보 복합체의 추가 등급에 따라서 분해되는데, 이 경우 항상

 

임을 보일 수 있다. 즉,

 
 

로 정의하면,

 

이다. 이 두 미분 연산자   돌보 연산자(Dolbeault演算子, 영어: Dolbeault operator)라고 부른다.

국소 좌표계로는 돌보 연산자를 외미분과 유사하게 정의할 수 있다. 즉  -형식  의 경우,

 

그 돌보 연산자는 다음과 같다.

 
 

여기서  ,  다중지표다.

돌보 코호몰로지편집

복소다양체의 돌보 연산자들은 다음과 같은 항등식들을 만족시킨다.

 

따라서   또는  로서 코호몰로지를 정의할 수 있다. 이 가운데,  로 정의되는 것은  의 정칙 단면의 층의 코호몰로지를 계산하며, 반대로  로 정의되는 것은  의 반정칙 단면의 층의 코호몰로지를 계산한다. 보통 정칙 함수 및 정칙 단면의 개념을 사용하므로, 보통  로 정의되는 코호몰로지를 사용한다.

즉, 다음과 같은, 복소수 벡터 공간(의 )으로 구성된 사슬 복합체를 생각하자.

 

그 코호몰로지는 다음과 같이  -형식의 동치류 공간이다.

 

이를 돌보 코호몰로지(영어: Dolbeault cohomology)라고 부른다. 돌보 코호몰로지 공간의 (복소수 벡터 공간) 차원을 호지 수(영어: Hodge number)라고 부른다. 즉 호지 수  는 다음과 같다.

 

호지 수는 (복소수 벡터 공간의 차원이므로) 음이 아닌 정수 또는 무한대이다. 만약 복소다양체콤팩트하면 호지 수는 유한하다.

호지 수는 드람 코호몰로지의 차원인 베티 수  에 대응하며, 특히 다음이 성립한다.

 

 차원 복소다양체는 총  개의 호지 수

 

를 가진다. 이 가운데   연결 성분의 수이다. 또한, 콤팩트 연결 복소다양체의 경우 세르 쌍대성

 

에 의하여

 

가 성립한다.

만약  이 켈러 다양체의 구조를 가질 경우, 항상

 

가 성립한다.

층 코호몰로지편집

돌보 복합체

 

섬세층으로 구성되며,  차 정칙 단면들의 의 분해를 이룬다. 즉, 그 코호몰로지는  차 정칙 단면의 층의 층 코호몰로지와 같다.

 

이를 돌보 정리(영어: Dolbeault's theorem)라고 한다. 특히, 만약  일 경우, 0차 정칙 미분 형식은 정칙 함수이므로, 돌보 복합체는 구조층의 코호몰로지를 계산한다.

이는 실수 미분 형식의 경우 드람 코호몰로지상수층  의 섬세한 분해를 이루는 것과 마찬가지다.

보다 일반적으로, 임의의 정칙 벡터 다발  가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 돌보 복합체

 

 층 코호몰로지의, 섬세층으로 구성된 분해를 이루며, 그 돌보 코호몰로지는  의 층 코호몰로지와 일치한다. ( 인 경우는 정칙 벡터 다발  의 층 코호몰로지이므로,  인 경우로 귀결된다.) 예를 들어

 

   값의 (0,0)차 미분 형식의 복소수 벡터 공간, 즉  의 정칙 단면의 복소수 벡터 공간이다.

편집

리만 구   위의 모든 정칙 벡터 다발은 다음과 같은 꼴이다.

 

여기서   차의 유일한 정칙 선다발이다. 이는 복소수 1차원이므로  표준 선다발과 같으며, 이는  이다. (리만-로흐 정리에 의하여, 종수  리만 곡면표준 선다발의 차수는  이며, 리만 구는  인 경우이다.)

리만-로흐 정리에 의하여,

 
 

이다. 즉,

  •   위에 대역적으로 정의되는 0차 정칙 미분 형식(즉, 정칙 함수)은 상수 함수 밖에 없다.
  •   위에는 대역적으로 정의되는 1차 정칙 미분 형식이 존재하지 않는다.

마찬가지로,

 
 

이다. 여기서 세르 쌍대성을 사용하였다.

물론,   위의 (0,0)차 및 (0,1)차 및 (1,0) 차 및 (1,1)차 복소수 미분 형식들의 공간은 각각 무한 차원의 복소수 벡터 공간이다.

외부 링크편집