볼록 집합

수학에서 볼록 집합(영어: convex set)은 임의의 두 점을 잇는 선분을 포함하는, 유클리드 공간부분 집합이다.

볼록 집합
볼록 집합이 아닌 집합

정의편집

실수 위상 벡터 공간  부분 집합  가 다음 조건을 만족시키면, 볼록 집합이라고 한다.

  • 임의의   에 대하여,  

국소 볼록 집합(영어: locally convex set)은 임의의 점이 (그 부분 집합에서의) 볼록 근방을 갖는 부분 집합이다.

다각 연결 집합편집

실수 위상 벡터 공간  부분 집합  가 다음 조건을 만족시키면, 다각 연결 집합(영어: polygonally connected set)이라고 한다.

  • 임의의  에 대하여, 다음 세 조건을 만족시키는 자연수   가 존재한다.
    •  
    •  
    •   및 임의의  에 대하여,  

위 정의에서  을 어떤 자연수로 고정하면,  -다각 연결 집합(영어:  -polygonally connected set)의 정의를 얻는다. 이 경우, 볼록 집합은 1-다각 연결 집합과 동치이다.

성질편집

모든 다각 연결 집합은 경로 연결 공간이다. 모든  -다각 연결 집합은 다각 연결 집합이다. (그러나 다각 연결 집합은 어떤  에 대하여  -다각 연결 집합일 필요가 없다.) 모든 별모양 집합은 2-다각 연결 집합이다. 모든 (공집합이 아닌) 볼록 집합은 별모양 집합이다.

유클리드 공간편집

실수 노름 공간연결 열린집합은 항상 다각 연결 집합이다.[1]:81, Exercise 3.4.2

유클리드 공간  부분 집합  에 대하여, 다음이 성립한다.

  • (티체-나카지마 정리, 영어: Tietze–Nakajima theorem) 만약  닫힌집합이며, 연결 공간이며, 국소 볼록 집합이라면,  는 볼록 집합이다.[2]:1306
  • 보다 일반적으로, 만약  닫힌집합이며, 연결 집합이며,  개 이하의 국소 비볼록점을 갖는다면,   -다각 연결 집합이다.[2]:1305, Theorem 1
  • 보다 일반적으로, 만약  닫힌집합이며, 연결 집합이며,  의 국소 비볼록점의 집합이 (서로소일 필요가 없는)  개의 볼록 집합의 합집합이라면,   -다각 연결 집합이다.[2]:1305, Theorem 2

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실수선  의 볼록 집합은 단순히 구간이다.

집합

 

경로 연결 공간이지만,  의 다각 연결 집합이 아니다.

역사편집

티체-나카지마 정리는 하인리히 프란츠 프리드리히 티체(독일어: Heinrich Franz Friedrich Tietze, 1880~1964)[3]와 나카지마(영어: S. Nakajima)[4]가 모두 1928년 논문에서 독립적으로 증명하였다.

같이 보기편집

참고 문헌편집

  1. Brown, Ronald (2006). 《Topology and groupoids. A geometric account of general topology, homotopy types and the fundamental groupoid》 (영어) 3차 개정 증보판. ISBN 1-4196-2722-8. Zbl 1093.55001. 
  2. Valentine, F. A. (1965). “Local convexity and Ln sets”. 《Proceedings of the American Mathematical Society》 (영어) 16: 1305–1310. doi:10.2307/2035920. ISSN 0002-9939. MR 0185510. Zbl 0135.40702. 
  3. Tietze, Heinrich (1928). “Über Konvexheit im kleinen und im großen und über gewisse den Punkten einer Menge zugeordnete Dimensionszahlen”. 《Mathematische Zeitschrift》 (독일어) 28: 697–707. doi:10.1007/BF01181191. ISSN 0025-5874. JFM 54.0797.01. MR 1544985. 
  4. Nakajima, S. (1928). “Über konvexe Kurven und Flächen”. 《Tohoku Mathematical Journal》 (독일어) 29: 227–230. ISSN 0040-8735. JFM 54.0799.04. 

외부 링크편집