부분분수

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대수학에서 부분분수분해(Partial fraction decomposition) 또는 부분분수전개(partial fraction expansion)는 유리식의 분자나 분모의 차수를 낮추는 데 이용한다. 전체 분수가 몇 개로 이루어진 분수의 합으로 표시된다. 본질적으로 정수 계수의 다항식들은 유클리드 정역이므로 유클리드 호제법을 이용할 수 있다.

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부분분수로 변형하는 계산은 다양한 계산에서 등장한다. 기교를 잘 익혀두면 쓸모가 많다.

가분수를 대분수로 변형편집

분자의 차수가 분모보다 높을 경우 초등학교의 가분수를 대분수로 바꾸는 계산과정과 동일한 방법을 통해 분자의 차수를 낮출 수 있다. 즉, 다음과 같은 분수

 

가 주어졌는데, 분자의 차수가 분모의 차수보다 높아서  와 같이 나눗셈으로 표현가능하다면, 이 분수는 다음과 같이 바꿀 수 있다.

 

다항식의 나눗셈에 의해 당연히   보다 차수가 낮다.

분자의 차수가 낮은 경우편집

분자의 차수가 낮다고 하더라도, 여러가지 방법으로 부분분수로 분해가능하다. 특히 분모가 일차식들의 곱의 형태로 표현될 경우 어렵지 않게 분해할 수 있다. 즉, 다음과 같이 분해된다.

 

여기서  는 모두 항등식의 미정계수로서 다양한 방법으로 메꿀 수 있다. 다음과 같은 예를 보자.

 

위와 같이 주어진 유리식을 관찰해보면 분모가  로 일차식의 곱의 형태로 인수분해됨을 알 수 있다. 그리하여 다음과 같이 전개가능하다.

 

여기서  는 정해지지 않은 계수, 즉 미정계수인데, 이는 항등식의 미정계수법을 통해 다양한 방법으로 메꿀 수 있다. 양변에 분모의 최소공배수를 곱하여 계수를 비교하거나(계수비교법), 적당한 상수를 대입하여 그 수치값을 비교하는(수치대입법) 방법 등을 동원하면 된다. 그리하여  임을 확인할 수 있다.

유용한 공식편집

고교 수학 시험에도 흔히 등장하는 공식으로 다음과 같은 식이 있다.

 

좌변의 분수가 우변의 부분분수로 분해된다.  가 단순할 때 유용하다. 예를 들어 다음과 같이 분해된다.

 
 
 
 
 
 
우변의 차항에대한 좌변의  차항은 없으므로  차항의 계수는  , 상수항은 이다.

빼면,

 
 
 
 

이번에는  을 더하면,

 
 
 
  를 대입하면,
 
 
 
 
 
 


비슷하게, 다음과 같은 공식을 활용할 수 있다.

 

분모의 인수분해 되지 않는 다항식편집

분모에 더 이상 인수분해 되지 않는 다항식이 있을 때도 부분분수로 분해되는 경우가 있다. 예를 들어 분모가 삼차식이고 분자가 이차식 이하인 경우, 다음과 같이 분해된다.

 

예를 들어 다음과 같다.

 

이 경우 인수분해 공식에 의해 분모가  와 같이 분해됨을 즉시 파악할 수 있다. 그리하여,

 

위와 같이 변형된다. 여기서  도 마찬가지로 미정계수이며, 다양한 방법으로 메꿀 수 있다. 계산해보면 차례로 7,3,4가 나오므로,

 

위와 같은 등식이 성립하게 된다.

분모의 거듭제곱된 항의 포함편집

분모에 거듭제곱된 일차항이 포함될 경우 다음과 같이 계산된다. 예를 들어,

 

와 같은 식일 경우 다음과 같은 방법으로 부분분수를 설정해야 한다.

 

이를 응용하여 다음과 같이 거듭제곱된 이차항을 포함한다고 하자.

 

그러면 미정계수를 포함하는 분자는 모두 일차식이 된다.

 

응용편집

부분분수로 분해하는 계산은 다양한 곳에서 응용될 수 있다.

계산하기 어려운 값편집

가장 유명한 예로 다음 주어진 일련의 분수식을 간단히 만드는 데 응용할 수 있다.

 
 
 

적분하기 어려운 함수편집

다음과 같은 함수는 직접 적분하기 어렵다.

 

그러나 다음과 같이 부분 분수로 변형하여 쉽게 적분할 수 있다.

 

물론  는 적분상수(Constant of integration)이다.

무한급수의 일반항편집

다음과 같은 유리식을 무한급수로 표현했다고 하자.

 

이 무한급수의 계수들은 수열이 되는데, 그 일반항을 직접 구하기는 어렵다. 그러나 부분분수로 쪼개서 계산할 수 있다.

 

이 때, 다음 등식을 이용한다.

 

그리하여 다음을 얻는다.

 

역 라플라스 변환편집

라플라스 변환(Inverse Laplace transform)이 어려운 미분방정식을 쉽게 풀 수 있다. 예를 들어 다음과 같은 미분방정식이 있다고 하자.[1]

 

양변에 라플라스 변환을 취해 다음의 등식이 된다.

 

그리하여 이를  에 대해 정리하면 다음 등식이 성립한다.

 

그런데 이 두 항은 직접 역 라플라스 변환을 취하기에 너무 어렵다. 다음과 같이 모두 부분분수로 쪼갤 수 있다.

 

그리하여 해는 다음과 같이 된다.

 

같이 보기편집

각주편집

  1. Braun, Martin (1992). 《Differential Equations and Their Applications》. Springer-Verlag. 230~231쪽. ISBN 978-0-387-97894-9.