부분 적분

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미적분학에서, 부분 적분(部分積分, 영어: integration by parts)은 두 함수의 곱을 적분하는 기법이다.[1][2][3][4][5]

정의편집

만약  가 구간이며  연속 미분 가능 함수라면 (도함수  연속 함수라면), 다음이 성립한다.[2]:292

 

이를   를 통해 간략히 쓰면 다음과 같다.

 

만약  연속 미분 가능 함수라면, 다음이 성립한다.[2]:292, Theorem 7.1

 

증명편집

곱의 법칙에 따라 다음이 성립한다.

 

양변은 모두 연속 함수이므로 부정적분이 존재한다. 양변에 부정적분을 취하면 다음을 얻으므로 부정적분에 대한 명제가 성립한다.[3]:79

 

또한 양변은 모두 적분 가능하며, 양변에 적분을 취하면 다음을 얻으므로 정적분의 경우가 성립한다.[2]:292

 

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이 명제에서는 주어진 적분에서   를 선택하는 방법을 밝히지는 않는데, 보통 도함수가 비교적 간단한 부분을  로 두거나, 원함수가 비교적 간단한 부분을  으로 두는 것이 좋다. 도함수가 자기 자신보다 단순한 정도에 따라, 두 함수 가운데 로그 함수, 역삼각 함수, 대수적 함수, 삼각 함수, 지수 함수에서 먼저 나오는 유형에 속하는 하나를  로 삼는 법칙을 제시한 저자도 존재하며, 이러한 법칙을 함수 유형들의 첫자들을 따 LIATE 법칙(영어: LIATE rule)이라고 부른다.[6] 그러나 이 법칙은 때로 옳지 않을 수 있다.

따름정리편집

만약  가 구간이며   번 연속 미분 가능 함수라면 ( 계 도함수  이 연속 함수라면), 다음이 성립한다.[3]:101, Exercise 46

 

이는 부분 적분을 반복하여 증명할 수 있다. 이러한 적분을 풀 때에는 보통 이 공식에 대입하는 대신 부분 적분을 직접 반복하거나 표를 사용한다.

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첫째 예편집

부정적분

 

을 구하자.  이며  라고 하자. 그러면  이며 (상수차를 무시하면)  이다. 부분 적분을 적용하면 다음을 얻는다.[1]:516, Example 2

   
 

둘째 예편집

부정적분

 

를 구하자.  이며  라고 하자. 그러면  이며  이다. 부분 적분을 적용하면 다음을 얻는다.[3]:87, Example 7.10

   
 
 

셋째 예편집

부정적분

 

을 구하자.  이며  라고 하자. 그러면  이며  이다. 부분 적분을 적용하면 다음을 얻는다.

 

우변의 마지막 항의 적분에서  ,  ,  ,  라고 하여 다시 부분 적분을 적용하면 다음을 얻는다.

   
 

따라서 구하려는 적분은 다음과 같다.[1]:518, Example 4

 

넷째 예편집

부정적분

 

을 구하자.  이며  라고 하자. 그러면  이며  이다. 부분 적분을 적용하면 다음을 얻는다.[4]:

   
 
 

따라서 구하려는 적분은 다음과 같다.[4]:256, 예6.2.21

 

다섯째 예편집

다음과 같은 두 적분을 구하자.

 
 

이 둘에 각각 부분 적분을 적용하면 다음을 얻는다.

   
 
   
 

즉, 다음과 같은 연립 방정식이 성립한다.

 
 

따라서 구하려는 적분은 다음과 같다.[4]:256, 예6.2.22

 
 

여섯째 예편집

다음과 같은 적분을 구하자.

 

다음과 같은 부분 적분을 사용하자 (구하려는 적분에 직접 적용하지 않았음에 주의하자).

   
 

따라서 구하려는 적분은 다음과 같다.[4]:258, 예6.2.26

   
 

같이 보기편집

각주편집

  1. Larson, Ron; Edwards, Bruce (2013). 《Calculus: Early Transcendental Functions》 (영어) 6판. Boston, MA: Cengage Learning. ISBN 978-1-285-77477-0. LCCN 2013949101. 
  2. Lax, Peter D.; Terrell, Maria Shea (2014). 《Calculus With Applications》. Undergraduate Texts in Mathematics (영어) 2판. New York, NY: Springer. doi:10.1007/978-1-4614-7946-8. ISBN 978-1-4614-7945-1. LCCN 2013946572. 
  3. Stewart, Seán M. (2018년 2월). 《How to Integrate It》 (영어). Cambridge University Press. doi:10.1017/9781108291507. ISBN 978-1-108-41881-2. 
  4. 伍胜健 (2009년 8월). 《数学分析》 (중국어) 1 1판. 北京大学出版社. ISBN 978-7-301-15685-8. 
  5. 伍胜健 (2010년 2월). 《数学分析》 (중국어) 2 1판. 北京大学出版社. ISBN 978-7-301-15876-0. 
  6. Kasube, Herbert E. (1983년 3월). “A Technique for Integration by Parts”. 《The American Mathematical Monthly》 (영어) 90 (3): 210-211. doi:10.2307/2975556. ISSN 0002-9890. JSTOR 2975556. 

외부 링크편집