주 메뉴 열기

부분 대상 분류자

범주론에서, 부분 대상 분류자(部分對象分類子, 영어: subobject classifier)는 주어진 대상의 각각의 부분 대상들을, 특정한 대상 로 가는 사상에 대응시킬 수 있도록 하는 구조이다. 집합론에서의 지시 함수의 개념을 일반화한 것으로, 부분 대상 분류자는 임의의 토포스에서 항상 존재한다.

정의편집

범주  끝 대상  을 갖는다고 하자.  부분 대상 분류자는 다음 조건을 만족시키는, 대상   및 사상  의 순서쌍이다. (대상  는 문헌에 따라  로 표기하기도 한다.)

  • 모든 단사 사상  에 대하여,   당김이 되는 사상  이 유일하게 존재한다.

여기서 사상   지시 사상(영어: indicator morphism)이라고 한다.

유한 완비 범주   속의 대상   및 사상  가 다음 조건을 만족시킨다면,  강한 부분 대상 분류자(強-部分對象分類子, 영어: strong subobject classifier)라고 한다.

  • 모든 강한 단사 사상  에 대하여,   당김이 되는 사상  이 유일하게 존재한다.

강한 부분 대상 분류자는 부분 대상 분류자의 정의를 모든 단사 사상 대신 강한 단사 사상에만 적용되게 약화시킨 것이다. 즉, 이름과 달리 강한 부분 대상 분류자는 더 약한 개념이다. 모든 부분 대상 분류자는 (모든 강한 부분 대상부분 대상이므로) 강한 부분 대상 분류자이지만, 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다.

모든 토포스는 정의에 따라 부분 대상 분류자를 갖는다. 마찬가지로, 모든 준토포스는 정의에 따라 강한 부분 대상 분류자를 갖는다.

편집

각종 토포스에서, 부분 대상 분류자의 예는 다음과 같다.

토포스 부분 대상 분류자
집합의 토포스   두 개의 원소를 가진 집합  
유한 집합의 토포스   두 개의 원소를 가진 집합  
위상 공간   위의 (집합) 의 토포스   열린집합  에 대하여, 열린 부분 집합들의 층  
작은 범주   위의 준층의 토포스   대상  에 대하여,   위의 모든 들의 집합의 준층  
토포스   및 대상  에 대하여,    의 부분 대상 분류자  에 대하여, 사영  

참고 문헌편집

외부 링크편집