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정의편집

분수 아이디얼편집

가환환  가 주어졌다고 하고, 그 전분수환 라고 하자.  분수 아이디얼  는 다음 두 조건을 만족시키는 집합이다.

  •   에 대한 가군을 이룬다. 즉, 다음이 성립한다.
    •  는 덧셈에 대하여 닫혀 있다. 즉, 임의의  에 대하여,  이다.
    • 임의의   에 대하여,  이다.
  •   가 존재한다.

두 분수 아이디얼  은 다음과 같다.

 

이는 결합 법칙교환 법칙을 만족시키며,  는 곱셈에 대한 항등원을 이룬다 ( ). 따라서, 정역  의 분수 아이디얼들의 집합  은 곱셈에 대하여 가환 모노이드를 이룬다.

분수 아이디얼들의 가환 모노이드가역원가역 분수 아이디얼(영어: invertible fractional ideal)이라고 하며, 가역 분수 아이디얼들은 아벨 군  을 이룬다.

두 분수 아이디얼  

 

역시 분수 아이디얼을 이룬다. (이는 만약  에 대하여  라면  이기 때문이다.) 이는 결합 법칙교환 법칙을 만족시키며, 영 아이디얼  은 그 항등원을 이룬다. 또한, 곱셈에 대하여 분배 법칙 역시 성립하므로,  반환을 이룬다.

유한 또는 무한 개의 분수 아이디얼들  교집합

 

역시 분수 아이디얼을 이룬다. 그러나 (  자체는 일반적으로 분수 아이디얼이 아니므로) 이 연산은 일반적으로 항등원을 갖지 않는다.

주 분수 아이디얼편집

다음과 같은 곱셈 모노이드 준동형이 존재한다.

 
 
 

그러나 일반적으로  이므로 이는 반환의 준동형을 이루지 못한다.

 주 분수 아이디얼(主分數ideal, 영어: principal fractional ideal)의 집합  은 이 모노이드 준동형치역이다. 즉, 주 분수 아이디얼은  의 꼴로 나타낼 수 있는 분수 아이디얼이다.

이 모노이드 준동형의 은 다음과 같다.

 

즉, 다음과 같다.

 

인자 아이디얼편집

  -부분 가군  에 대하여, 다음 기호를 정의하자.

 

즉,   부분 집합으로 포함하는 모든 주 분수 아이디얼들의 교집합이다.

만약 분수 아이디얼  

 

를 만족시킨다면,  인자 아이디얼(因子ideal, 영어: divisorial ideal)이라고 한다. 그 집합을  로 표기하자.

  위에 다음과 같은 곱을 정의할 수 있다.

 

이 곱에 대하여  가환 모노이드를 이룬다. 만약  뇌터 정수적으로 닫힌 정역의 경우 이는 아벨 군을 이루며, 이 경우  의 역원은  이다.

 에 대하여  이므로, 모든 가역 주 분수 아이디얼은 인자 아이디얼이다. 보다 일반적으로, 모든 가역 분수 아이디얼은 인자 아이디얼이며, 이 경우  이다.

성질편집

임의의 정역  에서, 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

 

크룰 정역편집

크룰 정역에서, 인자의 이론은 인자 아이디얼을 통해 전개할 수 있다. 크룰 정역  에서 높이가 1인 소 아이디얼들은 인자 아이디얼을 이루며,  를 생성한다.

이 경우, 몫군

 

 인자 유군이라고 하며, 이는 아이디얼 유군을 부분군으로 갖는다.

데데킨트 정역편집

데데킨트 정역의 경우, 0이 아닌 모든 분수 아이디얼이 가역 분수 아이디얼이다. 즉, 다음이 성립한다.

주 아이디얼 ⊆ 주 분수 아아디얼 ⊆ {(0)} ∪ 가역 분수 아이디얼 = 인자 아이디얼 = 분수 아이디얼

구체적으로, 정역  에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

  •  는 데데킨트 정역이다.
  •  의 0이 아닌 모든 분수 아이디얼은 가역 분수 아이디얼이다.

이 경우, 몫군

 

 아이디얼 유군이라고 한다.

데데킨트 정역  이 주어졌으며,   의 (분수체   속의) 정수적 폐포라고 한다면, 아이디얼 노름이라는 곱셈 모노이드 준동형

 

을 정의할 수 있으며, 이는 (주 분수 아이디얼에 대하여 적용한다면) 체 노름의 일반화이다.

유일 인수 분해 정역편집

유일 인수 분해 정역의 경우, 모든 인자 아이디얼은 주 분수 아이디얼이다. 즉, 유일 인수 분해 정역의 경우 다음이 성립한다.

주 아이디얼 ⊆ {(0)} ∪ 가역 분수 아이디얼 = 주 분수 아아디얼 = 인자 아이디얼 ⊆ 분수 아이디얼

구체적으로, 정역  에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

주 아이디얼 정역과 체편집

주 아이디얼 정역은 데데킨트 정역이자 유일 인수 분해 정역이므로, 다음이 성립한다.

주 아이디얼 = 아이디얼 ⊆ {(0)} ∪ 가역 분수 아이디얼 = 주 분수 아아디얼 = 인자 아이디얼 = 분수 아이디얼

에서는 아이디얼이   밖에 없다. 이 경우, 다음이 성립한다.

주 아이디얼 = 아이디얼 = {(0)} ∪ 가역 분수 아이디얼 = 주 분수 아아디얼 = 인자 아이디얼 = 분수 아이디얼 = {(0), (1)}

편집

정수환  의 경우, 임의의 유리수  에 대하여

 

는 정수환의 분수 아이디얼이다. 이는  에 의하여 생성되므로, 주 분수 아이디얼이다. 정수환은 주 아이디얼 정역이므로, 모든 분수 아이디얼이 이러한 꼴이다.

만약  이라면

 

이며,

 

이다. 따라서 이는 인자 아이디얼을 이룬다. 만약  이라면,

 
 

이므로, 영 아이디얼 역시 인자 아이디얼이다.

외부 링크편집