분해 가능 공간

두 점이 열린집합에 의해 분리되는 공간에 대해서는 하우스도르프 공간 문서를 참고하십시오.

일반위상수학에서 분해 가능 공간(分解可能空間, 영어: separable space)은 가산 집합이 조밀 집합일 수 있을 정도로 작은 위상 공간이다.

정의

위상 공간 $X$의 밀도(密度, 영어: density) $d(X)$는 $X$ 속의 조밀 집합의 최소 크기인 기수이다. (기수 위의 순서는 정렬 순서이므로 이는 항상 존재한다.)

밀도가 $\aleph _{0}$ 이하인 위상 공간을 분해 가능 공간이라고 한다.^:192 즉, 분해 가능 공간은 가산 조밀 집합을 갖는 공간이다.

성질

제2 가산성과의 관계

모든 제2 가산 공간은 분해 가능 공간이다.^:192

제1 가산 공간인 위상군에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.^:195

• 분해 가능 공간이다.
• 제2 가산 공간이다.

거리화 가능성을 가정한다면, 다음이 성립한다.

콤팩트 공간 $\subsetneq$^:194 제2 가산 공간 = 분해 가능 공간 = 린델뢰프 공간^:191–192

분해 가능성을 보존하는 연산

두 위상 공간 $X$, $Y$ 사이의 연속 함수 $f\colon X\to Y$ 및 조밀 집합 $D\subseteq X$이 주어졌을 때, 그 상 $f(D)\subseteq f(X)$는 치역 $f(X)$ 속의 조밀 집합이다. 따라서

$d(f(X))\leq d(X)$

이다. 특히, 분해 가능 공간의 연속적 상은 분해 가능 공간이다.^:194

위상 공간 $X$의 열린집합 $U\subseteq X$ 및 조밀 집합 $D\subseteq X$가 주어졌을 때, $U\cap D$는 $U$의 조밀 집합이다. 따라서 다음이 성립한다.

$d(U)\leq d(X)$

특히, 분해 가능 공간의 열린집합은 분해 가능 공간이다.^{:Theorem 16.4b} 분해 가능 공간의 열린집합이 아닌 부분 집합은 분해 가능 공간이 아닐 수 있다. 다만, 분해 가능 거리화 가능 공간의 모든 부분 집합은 분해 가능 공간이다.

곱공간

$X=\prod _{i\in I}X_{i}$

및 무한 기수 $\kappa$가 주어졌다고 하자. 휴잇-마르체프스키-폰디체리 정리(영어: Hewitt–Marczewski–Pondiczery theorem)에 따르면, 만약

$d(X_{i})\leq \kappa \qquad (\forall i\in I)$

$|I|\leq 2^{\kappa }$

라면,

$d(X)\leq \kappa$

이다. 특히, $2^{\aleph _{0}}$개 이하의 분해 가능 공간들의 곱공간은 분해 가능 공간이다.^{:194:109, Theorem 16.4c} 곱위상 대신 상자 위상을 사용하는 경우 이 명제들은 더 이상 성립하지 않는다.

휴잇-마르체프스키-폰디체리 정리의 증명:^{:81, Theorem 2.3.15}

편의상 $|I|=2^{\kappa }$라고 하자. (나머지 경우는 이 경우에서 연속적 상을 취한다.) 크기가 $\kappa$ 이하인 조밀 집합 $D_{i}\subseteq X_{i}$들의 곱집합 $\textstyle D=\prod _{i\in I}D_{i}\subseteq X$는 조밀 집합이다. 따라서, $D$의 크기 $\kappa$ 이하의 조밀 집합을 찾으면 족하다. 이제, $Y$가 크기 2의 이산 공간이라고 하고, $Z^{Y^{\kappa }}$가 $2^{\kappa }$개의 크기 $\kappa$의 이산 공간 $Z$들의 곱공간이라고 하자. 그렇다면 전사 연속 함수

$Z^{Y^{\kappa }}\to D$

가 존재한다. 따라서 $Z^{Y^{\kappa }}$에서 크기 $\kappa$ 이하의 조밀 집합을 찾으면 족하다. 곱공간 $Y^{\kappa }$는 크기 $\kappa$ 이하의 기저 ${\mathcal {B}}$를 가진다 (예를 들어, 표준적인 기저의 크기는 $\kappa$이다). 이제,

$A\subseteq Z^{Y^{\kappa }}$

가 다음 두 조건을 만족시키는 유한 개의 서로소 집합들의 집합 $\{B_{1},\dots ,B_{n}\}\subset {\mathcal {B}}$가 존재하는 원소

$f\in Z^{Y^{\kappa }}$

들의 집합이라고 하자.

• 각 $f|_{B_{i}}\colon B_{i}\to Z$는 상수 함수이다.
• $f|_{Y^{\kappa }\setminus (B_{1}\cup \cdots \cup B_{n})}\colon Y^{\kappa }\setminus (B_{1}\cup \cdots \cup B_{n})\to Z$는 상수 함수이다.

그렇다면, $A\subseteq Z^{Y^{\kappa }}$가 조밀 집합이며, $|{\mathcal {B}}|\leq \kappa$이므로 $|A|\leq \kappa$이다.

크기 관련 성질

모든 비이산 공간은 분해 가능 공간이므로, 분해 가능성은 집합의 크기에 상한을 가하지 않는다. 그러나 추가 조건을 가한다면 다음과 같은 상한을 얻을 수 있다.

• 제1 가산 하우스도르프 분해 가능 공간의 크기는 $2^{\aleph _{0}}$ 이하이다.
• 하우스도르프 분해 가능 공간의 크기는 $2^{2^{\aleph _{0}}}$ 이하이다.

또한, 분해 가능성은 다음과 같은 다양한 크기 관련 상한들을 함의한다.

• 분해 가능 공간 속의 서로소 열린집합들로 구성된 집합족은 항상 가산 집합이다.^:194
• 분해 가능 공간 $X$가 주어졌을 때, $X$ 위의 실수 값 연속 함수의 집합의 크기는 $2^{\aleph _{0}}$ 이하이다.

  ${\mathcal {C}}(X,\mathbb {R} )\leq 2^{\aleph _{0}}$

이는 실수 값 연속 함수는 이를 조밀 집합에 국한한 함수로부터 결정되기 때문이다. 이에 따라, 정규 분해 가능 공간 속의 닫힌집합이 이산 공간을 이룬다면, 이는 항상 가산 집합이다.

임의의 위상 공간 $X$에 대하여, 다음 세 조건을 만족시키는 분해 가능 공간 ${\tilde {X}}$ 및 단사 함수 $\iota \colon X\hookrightarrow {\tilde {X}}$를 찾을 수 있다.^:49

• $|X|=|{\tilde {X}}|$이며, ${\tilde {X}}\setminus \iota (X)$는 가산 집합이다.
• $X$는 그 상 $\iota (X)$와 위상 동형이다.
• 만약 $X$가 하우스도르프 공간이라면, ${\tilde {X}}$역시 하우스도르프 공간이다.

힐베르트 공간

 힐베르트 공간 문서를 참고하십시오.

(실수 또는 복소수) 힐베르트 공간 ${\mathcal {H}}$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• ${\mathcal {H}}$의 힐베르트 차원이 $\aleph _{0}$ 이하이다. (힐베르트 차원은 벡터 공간의 하멜 차원과 일반적으로 다르다.)
• ${\mathcal {H}}$는 분해 가능 공간이다.

특히, 모든 유클리드 공간 $\mathbb {R} ^{n}$ 및 L² 공간 $L^{2}(\mathbb {R} )$는 분해 가능 공간이다. 유클리드 공간의 경우 $\mathbb {Q} ^{n}\subsetneq \mathbb {R} ^{n}$은 가산 조밀 집합을 이룬다. 힐베르트 공간은 힐베르트 차원에 의하여 완전히 분류되므로, 이는 분해 가능 힐베르트 공간의 목록이다.

예

임의의 위상 공간 $X$에 대하여 다음이 자명하게 성립한다.

$d(X)\leq |X|$

따라서, 가산 개의 점을 갖는 위상 공간은 분해 가능 공간이다.

이산 공간 속의 조밀 집합은 전체밖에 없으므로, 이산 공간 $X$의 밀도는 그 집합의 크기와 같다.

$|X|=d(X)$

특히, 가산 이산 공간은 분해 가능 공간이지만, 비가산 이산 공간은 분해 가능 공간이 아니다. 비이산 공간에서 공집합이 아닌 모든 부분 집합은 조밀 집합이다. 따라서, 비이산 공간 $X$의 밀도는 다음과 같다.

$d(X)=\min\{1,|X|\}$

따라서, 모든 비이산 공간은 자명하게 분해 가능 공간이다.

역사

휴잇-마르체프스키-폰디체리 정리는 랠프 필립 보애스 주니어(영어: Ralph Philip Boas Jr., 1912~1992), 에드윈 휴잇(영어: Edwin Hewitt, 1920~1999), 에드바르트 마르체프스키(폴란드어: Edward Marczewski, 1907~1976, $\kappa =\aleph _{0}$)가 독자적으로 증명하였다. E. S. 폰디체리(영어: E. S. Pondiczery)는 보애스가 이 논문에서 사용한 필명이며, 인도의 지명 퐁디셰리에서 유래한다.

외부 링크

• “Separable space”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Density (of a topological space)”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Separable space”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Separable space”. 《nLab》 (영어). 
• “Definition: separable space”. 《ProofWiki》 (영어). 
• “Hewitt–Marczewski–Pondiczery theorem”. 《PlanetMath》 (영어). 
• “A question about compactness and separability with respect to box and product topology”. 《Stack Exchange》. 

같이 보기

• 제1 가산 공간
• 제2 가산 공간