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브라마굽타 공식

(브라마굽타의 공식에서 넘어옴)

기하학에서, 브라마굽타 공식(Brahmagupta公式, 영어: Brahmagupta's formula)은 원에 내접하는 사각형넓이를 네 변의 길이에 대한 대칭 함수로 나타내는 공식이다.

정의편집

내접 사각형  의 네 변의 길이를  ,  ,  ,  라고 하자. 브라마굽타 공식에 따르면, 이 사각형의 넓이는 다음과 같다.

 

여기서

 

반둘레이다.

증명편집

삼각법 증명편집

내접 사각형의 두 대각은 서로 보각이라는 성질에 의하여,

 

이다. 삼각형   코사인 법칙을 적용하면 각각

 

 

를 얻으며, 이를 연립하면

 

를 얻는다. 사각형  의 넓이는 삼각형   의 넓이의 합이므로,

 

이다. 따라서

 

가 성립한다.

특수한 경우편집

헤론의 공식편집

헤론의 공식은 브라마굽타 공식의 특수한 경우이다. 즉, 브라마굽타 공식에서  라고 가정할 경우,  이므로, 브라마굽타 공식은 임의의 삼각형  의 넓이에 대한 헤론의 공식

 

가 된다.

이중중심 사각형의 넓이편집

이중중심 사각형  의 네 변의 길이를  ,  ,  ,  라고 하자. 그렇다면 이 사각형의 넓이는 다음과 같다.

 

이는 이 사각형이 내접 사각형이므로 브라마굽타 공식이 성립하고, 또한 외접 사각형이므로

 

이기 때문이다.

일반화편집

브레치나이더 공식편집

브레치나이더 공식(Bretschneider公式, 영어: Bretschneider's formula)은 브라마굽타 공식을 원에 내접하지 않을 수 있는 임의의 사각형에까지 일반화한다. 이에 따르면, 임의의 사각형  의 네 변의 길이를  ,  ,  ,  라고 하고, 반둘레를  , 넓이를  라고 할 경우 다음이 성립한다.

 

내접 사각형에서는  이므로

 

이다. 즉, 브라마굽타 공식은 브레치나이더 공식의 특수한 경우이다.

역사편집

인도의 수학자 브라마굽타가 7세기경에 제시하였다.[1]:57, §3.2 그러나 그는 이에 대한 증명을 제시하지는 않았으며, 사각형이 원에 내접해야 한다고 명시하지도 않았다.[2]:188-189, §9.3

각주편집

  1. Coxeter, H. S. M.; Greitzer, S. L. (1967). 《Geometry Revisited》 (영어). Buehler, George H. 삽화. Washington, D.C.: Mathematical Association of America. ISBN 0-88385-619-0. 
  2. Kline, Morris (1972). 《Mathematical Thoughts from Ancient to Modern Times》 [수학사상사] (영어) 1. New York, New York: Oxford University Press. ISBN 0-19-506135-7. 

외부 링크편집