비탈리 집합

수학에서, 비탈리 집합(영어: Vitali set)은 르베그 가측 집합이 아닌 집합의 예이다.

정의편집

비탈리 집합  은 다음 성질을 만족시키는 집합이다.

  • 임의의 실수  에 대하여,  이다.

비탈리 집합의 존재는 선택 공리를 사용하여 다음과 같이 보일 수 있다. 유리수의 덧셈군  은 실수의 덧셈군의 정규 부분군이므로, 몫군  이 존재한다. 이 몫군의 각 원소에서, 단위 구간  에 속하는 대표원을 고른다. 그렇다면 이 대표원들의 집합은 비탈리 집합이다.

성질편집

비탈리 집합의 크기 이다. 비탈리 집합은 또한 다음 성질들을 만족시킨다.

  • 르베그 가측 집합이 아니다.
    • 비탈리 집합  에 대하여,  이다. 만약 비탈리 집합이 가측 집합이라면  이어야 하는데, 이는 불가능하다.
  • 준열린집합이 아니다.
  • 조밀한 곳이 없는 집합이 아니다.
    •  이므로, 제3 베르 범주 정리에 따라  는 조밀한 곳이 없는 집합이 아니다.
  • 제1 범주 집합이 아니다.

역사편집

이탈리아의 수학자 주세페 비탈리가 정의하였다.[1]

참고 문헌편집

  1. Vitali, Giuseppe (1905). 《Sul problema della misura dei gruppi di punti di una retta》 (이탈리아어). 볼로냐: Tipografia Gamberini e Parmeggiani. JFM 36.0586.03. 

같이 보기편집