특이점 (대수기하학)

대수기하학에서 특이점(特異點, 영어: singular point)은 대수다양체를 정의하는 다항식들의 야코비 행렬의 계수가 다른 곳보다 더 작은 점이다.

평면 대수 곡선 $y^{2}=x^{3}$은 원점에 특이점을 갖는다.

정의

스킴 $(X,{\mathcal {O}}_{X})$가 다음 조건을 만족시킨다면, 정칙 스킴(영어: regular scheme)이라고 한다.

• 임의의 (닫힌 점이 아닐 수 있는) 점 $x\in X$에 대하여, 줄기 국소환 ${\mathcal {O}}_{X,x}$가 정칙 국소환이다.

마찬가지로, 스킴 $X$의 특이점은 ${\mathcal {O}}_{X,x}$가 정칙 국소환이 아니게 되는 점 $x\in X$이다.

대수적으로 닫힌 체 $K$ 위의 대수다양체 $X\to \operatorname {Spec} K$에 대하여, 만약 $X$가 정칙 스킴이라면, $X$를 비특이 대수다양체(영어: nonsingular variety)라고 한다.^:32

성질

아핀 대수다양체 $X=\operatorname {Spec} K[x_{1},\dots ,x_{n}]/{\mathfrak {a}}$ 및 점 $x\in X$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• $x$는 $X$의 특이점이 아니다.
• ${\mathfrak {a}}$가 $(f_{1},\dots ,f_{k})$으로 생성된다면, $k\times n$ 행렬 $(\partial f_{i}/\partial x_{j})(x)$의 계수는 $n-\dim X$이다.^:31

다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

축소 스킴 ⊋ 정규 스킴 ⊋ 정칙 스킴 ⊋ 체 위의 매끄러운 스킴

즉, 모든 정칙 스킴은 정규 스킴이며, 임의의 체 $K$에 대하여 모든 매끄러운 $K$-스킴은 정칙 스킴이다. 특히, 완전체 $K$ 위의 $K$-스킴 $X$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• $X\to \operatorname {Spec} K$는 매끄러운 사상이다.
• 정칙 스킴이며, $X\to \operatorname {Spec} K$는 국소 유한형 사상이다.

예

임의의 대수적으로 닫힌 체 $K$ 및 자연수 $n\in \mathbb {N}$에 대하여, 아핀 공간 $\mathbb {A} _{K}^{n}=\operatorname {Spec} K[x_{1},\dotsc ,x_{n}]$ 및 사영 공간 $\mathbb {P} _{K}^{n}=\operatorname {Proj} K[x_{1},\dotsc ,x_{n}]$은 각각 비특이 $K$-대수다양체를 이룬다.

표수가 0인 대수적으로 닫힌 체에서의 복소 평면 대수 곡선

$\{(x,y)\colon y^{2}-x^{2}(x+1)=0\}\subset \mathbb {A} ^{2}$

을 생각하자. 이 경우, 1×2 야코비 행렬은

$(-(3x+2)x,2y)$

이며, 그 계수는 $(x,y)\in \{(0,0),(-2/3,0)\}$이면 0, 아니면 1이다. 이 두 점 가운데 $(0,0)$은 곡선 위에 있으므로, 이는 대수 곡선의 특이점이다.

같이 보기

• 매끄러운 스킴

외부 링크

• “Singular point”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Regular scheme”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Singular point”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Singular point of an algebraic variety”. 《nLab》 (영어).