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4번째 정사각수는 42=16은 연속된 4개의 홀수 1, 3, 5, 7를 더한 합이다.

수학에서, 제곱수(-數, 영어: square number) 또는 정사각수(正四角數) 또는 완전제곱수(完全-數, 영어: perfect square number)는 어떤 자연수의 제곱이 되는 수이다. 기하학적으로, 이는 그림과 같이 정사각형 모양으로 공을 배열하여 나타낼 수 있다.

목차

정의편집

어떤 음이 아닌 정수  에 대하여  의 꼴로 나타낼 수 있는 수를 제곱수라고 한다. 처음 몇 제곱수는 다음과 같다.

0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400... (OEIS의 수열 A000290)

성질편집

모든 제곱수는 홀수개의 약수를 가진다.

모든 제곱수는 완전수가 아니다.

제곱수는 1부터 시작하는 연속된 홀수의 합과 같다. 즉, 음이 아닌 정수  에 대하여, 다음이 성립한다.

 

기하학적으로 이는 다음과 같은 그림을 통해 이해할 수 있다.

       
     9  

라그랑주의 네 제곱수 정리에 따르면, 모든 자연수는 최대 4개의 정사각수의 합으로 표현이 가능하다.

사각뿔수편집

정사각수의 개념을 공간으로 확장하여, 물체를 사각뿔을이루도록 공간에 배치했을 때의 물체의 총 수를 사각뿔수라고 한다.

  사각뿔수는 제1 정사각수에서부터 제  정사각수까지의 합이고, 그 값   은 다시   으로 쓸 수 있다.

사각뿔수를 1항부터 써보면 다음과 같다.

1, 5, 14, 30, 55, 91, 140, 204, 285, 385, 506, 650, 819, 1015, ...

사각뿔수와 사면체수는 서로 밀접한 연관이 있다. 한 예로, 이웃한 두 사면체수를 더하면 사각뿔수가 된다. 사면체수는 1, 4, 10, 20, 35, 56, .. 등이 있는데, 1+4=5, 4+10=14처럼 이웃한 두 사면체수의 합은 정확히 사각뿔수가 된다. n번째 사면체수를  , n번째 사각뿔수를  라고 하고 이 공식을 일반화하면  가 된다. 이 공식은 사각뿔수와 사면체수의 공식을 가지고 계산하면 왜 그런지 금방 알 수 있다.

같이 보기편집

외부 링크편집