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사영작용소

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선형대수학에서, 사영 작용소(射影作用素, 영어: projection operator)는 멱등 선형 변환이다.

정의편집

 벡터 공간이라고 하자. 선형 변환   를 만족시키면, 이를 사영 작용소라고 한다.

분류편집

유한 차원 벡터 공간의 경우, 사영 작용소들은 벡터 공간의 부분 벡터 공간 및 그 여공간의 쌍과 일대일 대응한다. 임의의 사영 작용소  가 주어지면, 벡터 공간은  직합으로 나타내어진다. 즉,

 

로 분해할 수 있다.

증명:

우선, 임의의  에 대하여,  이며,  이므로,  이다.

또한, 만약  라면,   가 존재하며,

 

이다. 따라서  이다.

이에 따라, 임의의  에 대하여

 

이다.

증명:

만약  라면,   가 존재하므로,

 

이며,   의 고정점이다.

즉,  는 주어진 벡터를 그 핵  을 따라 그 상  에 사영하는 작용소로 생각할 수 있다.

성질편집

사영 작용소의 고윳값은 0 또는 1이다. 그 중복도는 각각  ,  이다.

사영 작용소  행렬 지수 함수

 

이다.

내적 공간  의 사영 작용소  에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.

  • 최소 제곱법을 정의한다. 즉, 임의의   에 대하여,  
  •   직교 여공간이다. 즉, 임의의  에 대하여,  이다.
  • 자기 수반 작용소이다.

응용편집

선형 최소 제곱법편집

내적 공간   및 벡터   및 부분 벡터 공간  이 주어졌다고 하자. 벡터  에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는    에 대한 최적 근사(最適近似, 영어: best approximation)라고 한다.

  • 임의의  에 대하여,  
  •  

최적 근사는 존재한다면 유일하지만, 일반적으로 존재하지 않는다. 만약  를 상으로 하는 자기 수반 사영 작용소  가 존재한다면, (이 경우  의 핵은 직교 여공간  이다.) 각   를 통한 최적 근사는  이다. 특히,  가 유한 차원 벡터 공간이라면 이러한 자기 수반 사영 작용소는 항상 존재한다. 연립 일차 방정식최소 제곱법은 이에 대한 특수한 경우이다.

외부 링크편집